Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Que signifie qu'un problème possède une sous-structure optimale ?

  1. AUne solution optimale peut être construite à partir de solutions optimales de ses sous-problèmes
  2. BLe problème peut être résolu en temps constant
  3. CLe problème a exactement une solution optimale, que partagent tous les sous-problèmes
  4. DTous les sous-problèmes ont la même taille
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Comment se comparent n! et 2ⁿ pour n grand ?

  1. A2ⁿ croît plus vite que n!
  2. BIls croissent au même rythme
  3. Cn! croît plus vite que 2ⁿ
  4. Dn! est O(n²)
3.Structures de donnéesMoyen

Les clés 50, 30, 70, 20, 40 sont insérées dans cet ordre dans un arbre binaire de recherche vide. Quel est l'enfant gauche de 30 ?

  1. A70
  2. B40
  3. C50
  4. D20
4.Structures de donnéesDifficile

Un tableau dynamique double de taille lorsqu'il est plein. Pourquoi de nombreuses implémentations ne le réduisent-elles que lorsqu'il est rempli au quart, et non à moitié ?

  1. AParce que diviser par deux à la moitié ferait perdre des éléments
  2. BPour éviter des redimensionnements répétés lorsque des push et des pop alternent près de la limite
  3. CParce que l'allocateur de mémoire ne peut libérer la mémoire que par quarts de bloc
  4. DPour garder le tableau trié
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDEF

Combien de marches de longueur 3 vont de F à B ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 3
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Une solution optimale peut être construite à partir de solutions optimales de ses sous-problèmes

Pourquoi c'est la réponse

La sous-structure optimale est nécessaire pour que les algorithmes gloutons comme la programmation dynamique produisent des réponses correctes.

Réponse

A · Une solution optimale peut être construite à partir de solutions optimales de ses sous-problèmes
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · n! croît plus vite que 2ⁿ

Pourquoi c'est la réponse

Pour n ≥ 4, n! dépasse 2ⁿ, et le rapport croît sans borne car chaque facteur supplémentaire de n! est supérieur à 2.

Réponse

C · n! croît plus vite que 2ⁿ
3.Structures de données

Réponse: D · 20

Pourquoi c'est la réponse

20 est plus petit que 50 et que 30, il devient donc l'enfant gauche de 30 ; 40 devient son enfant droit.

Réponse

D · 20
4.Structures de données

Réponse: B · Pour éviter des redimensionnements répétés lorsque des push et des pop alternent près de la limite

Pourquoi c'est la réponse

Réduire à la moitié pourrait déclencher un redimensionnement à chaque opération d'une telle séquence ; l'écart entre 1/4 et plein maintient le coût amorti en O(1).

Réponse

B · Pour éviter des redimensionnements répétés lorsque des push et des pop alternent près de la limite
5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Sommets impairs

0
Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien
6.Théorie des graphes

Réponse: N = 1

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Un pas de plus

(M³)FB = 0·1 + 1·0 + 0·1 + 1·1 + 0·1 + 1·0 = 1

Réponse

N = 1

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