Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel algorithme trouve les plus courts chemins depuis une source dans un graphe dont les poids des arêtes sont positifs ou nuls ?

  1. AL'algorithme de Dijkstra
  2. BL'algorithme de Kruskal
  3. CBellman-Ford est nécessaire dans tous les cas
  4. DLe parcours en profondeur (DFS)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Les plus courts chemins simples peuvent être trouvés en temps polynomial. Que sait-on de la recherche du plus long chemin simple entre deux sommets dans un graphe quelconque ?

  1. AOn peut le résoudre avec l'algorithme de Dijkstra en prenant l'opposé des poids
  2. BC'est NP-difficile
  3. CC'est indécidable
  4. DC'est toujours résoluble en O(V + E)
3.Structures de donnéesMoyen

Un parcours infixe (in-order) d'un arbre binaire de recherche visite les clés dans :

  1. AL'ordre par niveaux
  2. BL'ordre croissant
  3. CL'ordre d'insertion
  4. DToujours l'ordre décroissant
4.Structures de donnéesDifficile

La suppression d'un nœud ayant deux enfants dans un arbre binaire de recherche se fait généralement en :

  1. ALe remplaçant par son successeur infixe (ou prédécesseur) puis en supprimant ce nœud
  2. BReconstruisant de zéro le sous-arbre situé en dessous et en réinsérant toutes les clés qu'il contenait
  3. CL'échangeant avec la racine
  4. DSupprimant tout le sous-arbre
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 3 sommets de degré 5, 3 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

3 × deg 53 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
8711152681415ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · L'algorithme de Dijkstra

Pourquoi c'est la réponse

L'algorithme de Dijkstra fonctionne avec des poids positifs ou nuls ; Bellman-Ford gère les poids négatifs ; Kruskal construit des arbres couvrants de poids minimal.

Réponse

A · L'algorithme de Dijkstra
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · C'est NP-difficile

Pourquoi c'est la réponse

Un plus long chemin simple de longueur V − 1 est un chemin hamiltonien, problème NP-complet ; sur les graphes orientés acycliques, il est cependant résoluble en temps linéaire.

Réponse

B · C'est NP-difficile
3.Structures de données

Réponse: B · L'ordre croissant

Pourquoi c'est la réponse

Visiter le sous-arbre gauche, puis le nœud, puis le sous-arbre droit fournit les clés du BST dans l'ordre trié.

Réponse

B · L'ordre croissant
4.Structures de données

Réponse: A · Le remplaçant par son successeur infixe (ou prédécesseur) puis en supprimant ce nœud

Pourquoi c'est la réponse

Le successeur infixe a au plus un enfant, il peut donc être facilement supprimé après avoir copié sa clé dans le nœud à supprimer.

Réponse

A · Le remplaçant par son successeur infixe (ou prédécesseur) puis en supprimant ce nœud
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 11

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 21 = 2(L + 6) − 2
L = 11

Réponse

L = 11

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 23

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 8, C: 7
C (7): E: 9
B (8): D: 23
E (9): D: 15, F: 23
D (15)
F (23)

Plus court chemin

A → C → E → F
d(F) = 23

Réponse

d(F) = 23

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