Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle de l'algorithme de Bellman-Ford sur un graphe à V sommets et E arêtes ?

AO(E log V)
BO(V + E)
CO(V³ × E)
DO(V × E)

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Prendre les deux extrémités de chaque arête d'un couplage maximal donne une couverture par sommets. Quelle est la qualité de cette couverture ?

ADe qualité inconnue par rapport à l'optimum
BToujours une couverture par sommets minimale
CAu plus log n fois le minimum
DAu plus deux fois la taille d'une couverture par sommets minimale

3.Structures de donnéesMoyen

Comment trouve-t-on la clé minimale dans un arbre binaire de recherche ?

AOn suit les enfants gauches depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus
BOn regarde uniquement la racine
COn suit les enfants droits depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus
DOn visite toutes les feuilles et on les compare

4.Structures de donnéesDifficile

Quelle propriété un arbre rouge-noir doit-il respecter ?

ALa racine doit être rouge
BTout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs
CChaque nœud doit être rouge
DTout nœud rouge doit avoir des enfants rouges, si bien que les nœuds rouges forment toujours des chaînes ininterrompues jusqu'aux feuilles

5.Théorie des graphesMoyen

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 6

1Circuit eulérien
2Chemin eulérien, pas de circuit
3ni l’une ni l’autre

6.Théorie des graphesDifficile

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 7|E| = 10

W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(V × E)

Pourquoi c'est la réponse

Chacun des V − 1 tours relâche les E arêtes, d'où O(VE) ; en contrepartie, il gère les poids d'arêtes négatifs.

Réponse

D · O(V × E)

2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Au plus deux fois la taille d'une couverture par sommets minimale

Pourquoi c'est la réponse

Les arêtes du couplage n'ont aucun sommet en commun : l'optimum nécessite donc au moins un sommet par arête, tandis que cette méthode en prend deux, d'où une 2-approximation.

Réponse

D · Au plus deux fois la taille d'une couverture par sommets minimale

3.Structures de données

Réponse: A · On suit les enfants gauches depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus

Pourquoi c'est la réponse

Le nœud le plus à gauche n'a aucune clé plus petite dans l'arbre, c'est donc le minimum ; le coût est proportionnel à la hauteur.

Réponse

A · On suit les enfants gauches depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus

4.Structures de données

Réponse: B · Tout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs

Pourquoi c'est la réponse

Règles rouge-noir : les nœuds sont rouges ou noirs, la racine est noire, les nœuds rouges ont des enfants noirs et tous les chemins ont la même hauteur noire, ce qui maintient la hauteur ≤ 2 log₂(n + 1).

Réponse

B · Tout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs

5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Sommets impairs

Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien

6.Théorie des graphes

Réponse: W = 59

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

GB (2): prise

GC (3): prise

BC (6): sautée, ferme un cycle

BD (10): prise

CE (12): prise

GE (13): sautée, ferme un cycle

DF (14): prise

DE (17): sautée, ferme un cycle

AC (18): prise

Poids total

W = 2 + 3 + 10 + 12 + 14 + 18 = 59

Réponse

W = 59

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