Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la solution de la récurrence T(n) = T(n/2) + O(1) ?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

La multiplication de Karatsuba vérifie T(n) = 3T(n/2) + O(n). Quelle en est la solution ?

  1. AΘ(nlog₂ 3), soit environ n1,585
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n3)
3.Structures de donnéesMoyen

Une table de hachage de taille 7 utilise h(k) = k mod 7 et le sondage linéaire. Après l'insertion de 10, où est stocké 17 ?

  1. AÀ l'indice 4
  2. BÀ l'indice 0
  3. CÀ l'indice 6
  4. DÀ l'indice 3
4.Structures de donnéesDifficile

Dans une table de hachage à adressage ouvert, pourquoi la suppression se fait-elle souvent avec un marqueur « pierre tombale » (tombstone) ?

  1. ALes pierres tombales accélèrent le hachage
  2. BVider l'emplacement pourrait interrompre la séquence de sondage d'autres clés
  3. CCela rend la table triée
  4. DLes clés supprimées doivent être conservées pour toujours pour des raisons de sécurité, si bien que les emplacements ne peuvent jamais être réutilisés
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
1020241712133ABCDEF

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(log n)

Pourquoi c'est la réponse

Le problème est divisé par deux à chaque étape avec un travail constant par étape : il y a donc environ log₂ n étapes.

Réponse

D · O(log n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Θ(nlog₂ 3), soit environ n1,585

Pourquoi c'est la réponse

Comme log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, les feuilles dominent d'après le théorème maître, ce qui bat la méthode scolaire en O(n²).

Réponse

A · Θ(nlog₂ 3), soit environ n1,585
3.Structures de données

Réponse: A · À l'indice 4

Pourquoi c'est la réponse

10 mod 7 = 3 et 17 mod 7 = 3 ; l'indice 3 est occupé, le sondage linéaire essaie donc la case suivante, l'indice 4.

Réponse

A · À l'indice 4
4.Structures de données

Réponse: B · Vider l'emplacement pourrait interrompre la séquence de sondage d'autres clés

Pourquoi c'est la réponse

Si un emplacement supprimé devenait vide, les recherches ultérieures pourraient s'arrêter trop tôt et manquer des clés placées plus loin dans la chaîne de sondage.

Réponse

B · Vider l'emplacement pourrait interrompre la séquence de sondage d'autres clés
5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Sommets impairs

0
Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien
6.Théorie des graphes

Réponse: W = 40

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

BC (2): prise
BE (3): prise
CE (4): sautée, ferme un cycle
AB (10): prise
DF (12): prise
EF (13): prise

Poids total

W = 2 + 3 + 10 + 12 + 13 = 40

Réponse

W = 40

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