Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Pourquoi la programmation dynamique n'apporte-t-elle aucune accélération réelle au tri fusion ?

  1. ALa programmation dynamique ne fonctionne que sur les problèmes de graphes, pas sur les tableaux
  2. BSes sous-problèmes ne se chevauchent pas, il n'y a donc rien à réutiliser
  3. CLe tri fusion n'a pas de structure récursive
  4. DLe tri fusion est déjà en O(n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pourquoi la recherche dichotomique ne s'exécute-t-elle pas en O(log n) sur une liste simplement chaînée ?

  1. ALa recherche dichotomique nécessite au moins deux fois plus de mémoire
  2. BLes listes chaînées ne peuvent pas être triées
  3. CAtteindre l'élément du milieu prend O(n) étapes, faute d'accès direct par indice
  4. DLes comparaisons sur les nœuds d'une liste chaînée sont plus lentes
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle structure de données un programme en cours d'exécution utilise-t-il pour suivre les appels de fonction actifs et leurs variables locales ?

  1. AUn arbre binaire de recherche de cadres
  2. BLa file de la mémoire du tas
  3. CUne table de hachage des fonctions
  4. DLa pile d'appels
4.Structures de donnéesDifficile

Que fait un arbre splay (splay tree) après chaque accès ?

  1. AIl fait remonter le nœud accédé jusqu'à la racine par des rotations
  2. BIl déplace le nœud accédé vers une feuille
  3. CIl reconstruit tout l'arbre sous forme équilibrée
  4. DIl recolorie les nœuds du chemin de recherche
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
5442648511ABCDEFG

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Ses sous-problèmes ne se chevauchent pas, il n'y a donc rien à réutiliser

Pourquoi c'est la réponse

Les moitiés du tri fusion sont disjointes et chacune est résolue une seule fois ; la PD n'aide que lorsque les sous-problèmes se répètent, comme pour Fibonacci.

Réponse

B · Ses sous-problèmes ne se chevauchent pas, il n'y a donc rien à réutiliser
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Atteindre l'élément du milieu prend O(n) étapes, faute d'accès direct par indice

Pourquoi c'est la réponse

La recherche dichotomique nécessite un accès en O(1) au milieu ; sur une liste chaînée, s'y rendre coûte un temps linéaire, si bien que le total est O(n).

Réponse

C · Atteindre l'élément du milieu prend O(n) étapes, faute d'accès direct par indice
3.Structures de données

Réponse: D · La pile d'appels

Pourquoi c'est la réponse

Chaque appel empile un cadre de pile (stack frame) et chaque retour le dépile, c'est pourquoi l'appel le plus récent se termine en premier.

Réponse

D · La pile d'appels
4.Structures de données

Réponse: A · Il fait remonter le nœud accédé jusqu'à la racine par des rotations

Pourquoi c'est la réponse

Le splaying déplace le nœud accédé vers la racine par des rotations ; une opération isolée peut coûter O(n), mais le coût amorti est O(log n).

Réponse

A · Il fait remonter le nœud accédé jusqu'à la racine par des rotations
5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Sommets impairs

C, D, E, F → 4
ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 13

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 5, C: 4
C (4): E: 6, G: 5
B (5): D: 9
G (5)
E (6): F: 14
D (9): F: 13
F (13)

Plus court chemin

A → B → D → F
d(F) = 13

Réponse

d(F) = 13

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