Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La borne inférieure du tri par comparaisons dans le pire cas est :

  1. AΩ(n²)
  2. BΩ(n log n)
  3. CΩ(log n)
  4. DΩ(n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quels sont les coûts en temps et en espace du calcul du n-ième nombre de Fibonacci avec une boucle qui ne conserve que les deux dernières valeurs ?

  1. AO(n) en temps et O(1) en espace
  2. BO(n) en temps et O(n) en espace
  3. CO(log n) en temps et O(n) en espace
  4. DO(2ⁿ) en temps et O(1) en espace
3.Structures de donnéesMoyen

À quoi sert un nœud sentinelle (factice) dans une liste chaînée ?

  1. AÀ simplifier le code en supprimant les cas particuliers en tête ou en queue
  2. BÀ stocker le nombre d'éléments
  3. CÀ rendre la liste triée
  4. DÀ empêcher la liste de dépasser un nombre maximal fixe de nœuds
4.Structures de donnéesDifficile

Dans l'algorithme de Kruskal pour l'arbre couvrant de poids minimal, à quoi sert la structure union-find ?

  1. AÀ stocker la distance actuelle de chaque sommet depuis la source pendant le parcours
  2. BÀ trier les arêtes par poids
  3. CÀ choisir le sommet de départ
  4. DÀ vérifier si les deux extrémités d'une arête sont déjà reliées
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
714156614214ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Ω(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

Tout tri par comparaisons nécessite au moins log₂(n!) ≈ n log n comparaisons dans le pire cas. Le tri par dénombrement fait mieux car il n'effectue pas de comparaisons.

Réponse

B · Ω(n log n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(n) en temps et O(1) en espace

Pourquoi c'est la réponse

Chaque étape n'a besoin que des deux valeurs précédentes : la table de la méthode ascendante peut donc être remplacée par deux variables.

Réponse

A · O(n) en temps et O(1) en espace
3.Structures de données

Réponse: A · À simplifier le code en supprimant les cas particuliers en tête ou en queue

Pourquoi c'est la réponse

Avec une sentinelle, chaque nœud réel a un prédécesseur, donc l'insertion ou la suppression en tête ne demande aucun traitement particulier.

Réponse

A · À simplifier le code en supprimant les cas particuliers en tête ou en queue
4.Structures de données

Réponse: D · À vérifier si les deux extrémités d'une arête sont déjà reliées

Pourquoi c'est la réponse

Find indique si les deux extrémités sont dans la même composante ; sinon, l'arête est ajoutée et union fusionne les composantes.

Réponse

D · À vérifier si les deux extrémités d'une arête sont déjà reliées
5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Sommets impairs

0
Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien
6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 15

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 7, C: 14
B (7): D: 13
D (13): E: 27, F: 15
C (14): E: 20
F (15)
E (20)

Plus court chemin

A → B → D → F
d(F) = 15

Réponse

d(F) = 15

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