Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle de la multiplication de deux matrices n × n avec la triple boucle standard ?

  1. AO(n² log n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle est la complexité temporelle de la construction d'un tas binaire à partir de n éléments non triés avec la méthode ascendante (bottom-up) ?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
3.Structures de donnéesMoyen

Un arbre binaire a pour racine 1, avec 2 comme enfant gauche et 3 comme enfant droit ; le nœud 2 a pour enfants 4 (gauche) et 5 (droit). Quel est le parcours préfixe ?

  1. A1 2 3 4 5
  2. B1 2 4 5 3
  3. C4 2 5 1 3
  4. D4 5 2 3 1
4.Structures de donnéesDifficile

En quoi un arbre radix (trie compressé) améliore-t-il un trie simple ?

  1. AIl trie les enfants de chaque nœud par fréquence
  2. BIl ne garde que la première lettre de chaque mot
  3. CIl stocke chaque mot dans une table de hachage à la racine au lieu de nœuds distincts
  4. DIl fusionne les chaînes de nœuds à enfant unique en une seule arête étiquetée par une chaîne
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 4 sommets de degré 3, 2 sommets de degré 4, 4 sommets de degré 5, 2 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

4 × deg 32 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
10101211541411ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n³)

Pourquoi c'est la réponse

Il y a n² entrées et chacune nécessite n multiplications, soit n³ opérations.

Réponse

B · O(n³)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

La somme des coûts de descente (sift-down) sur les niveaux donne une série convergente ; heapify s'exécute donc en temps linéaire.

Réponse

D · O(n)
3.Structures de données

Réponse: B · 1 2 4 5 3

Pourquoi c'est la réponse

Le parcours préfixe visite 1, puis son sous-arbre gauche (2, 4, 5), puis 3 ; les autres options sont les parcours infixe, postfixe et par niveaux.

Réponse

B · 1 2 4 5 3
4.Structures de données

Réponse: D · Il fusionne les chaînes de nœuds à enfant unique en une seule arête étiquetée par une chaîne

Pourquoi c'est la réponse

Fusionner les chemins sans ramification réduit le nombre de nœuds et la mémoire utilisée tout en conservant la recherche par préfixe.

Réponse

D · Il fusionne les chaînes de nœuds à enfant unique en une seule arête étiquetée par une chaîne
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 22

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 44 = 2(L + 12) − 2
L = 22

Réponse

L = 22

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 26

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 10, C: 10
B (10): D: 21
C (10): E: 15
E (15): D: 19, F: 26
D (19)
F (26)

Plus court chemin

A → C → E → F
d(F) = 26

Réponse

d(F) = 26

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