Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Le parcours en largeur (BFS) sur un graphe non pondéré trouve :

  1. AL'arbre couvrant de poids minimal
  2. BLes plus courts chemins en nombre d'arêtes depuis le nœud de départ
  3. CUn ordre topologique dans tous les graphes
  4. DLes plus courts chemins dans les graphes qui contiennent des poids d'arêtes négatifs
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Le problème du sac à dos 0/1 résolu par programmation dynamique prend un temps O(nW). Pourquoi dit-on qu'il est pseudo-polynomial ?

  1. AParce que l'algorithme est probabiliste et que son temps d'exécution varie à chaque entrée
  2. BParce que n est toujours petit
  3. CW est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W
  4. DParce qu'il ne fonctionne que pour W = 0
3.Structures de donnéesMoyen

Vous avez une référence vers un nœud au milieu d'une liste. Dans quelle liste pouvez-vous le supprimer en O(1) ?

  1. AUn tableau dynamique
  2. BUne liste doublement chaînée
  3. CUn tableau trié
  4. DUne liste simplement chaînée
4.Structures de donnéesDifficile

Un nœud AVL est déséquilibré parce que le sous-arbre droit de son enfant gauche est devenu trop haut (cas gauche-droite). Quelle correction applique-t-on ?

  1. AUne rotation simple à gauche sur le nœud
  2. BUne rotation à droite sur l'enfant gauche, puis une rotation à gauche sur le nœud
  3. CUne rotation à gauche sur l'enfant gauche, puis une rotation à droite sur le nœud
  4. DUne rotation simple à droite sur le nœud
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 3 sommets de degré 3, 3 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

3 × deg 33 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
107751148105ABCDEFG

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 5 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Les plus courts chemins en nombre d'arêtes depuis le nœud de départ

Pourquoi c'est la réponse

BFS visite les nœuds par ordre de distance (en arêtes) depuis la source ; il trouve donc les plus courts chemins non pondérés en O(V + E).

Réponse

B · Les plus courts chemins en nombre d'arêtes depuis le nœud de départ
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · W est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W

Pourquoi c'est la réponse

Le temps d'exécution est polynomial en la valeur de W mais exponentiel en sa longueur (log W bits) ; le sac à dos 0/1 est NP-complet.

Réponse

C · W est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W
3.Structures de données

Réponse: B · Une liste doublement chaînée

Pourquoi c'est la réponse

Un nœud doublement chaîné connaît son prédécesseur, on peut donc relier directement prev et next ; une liste simplement chaînée doit rechercher le prédécesseur.

Réponse

B · Une liste doublement chaînée
4.Structures de données

Réponse: C · Une rotation à gauche sur l'enfant gauche, puis une rotation à droite sur le nœud

Pourquoi c'est la réponse

La première rotation transforme le cas gauche-droite en cas gauche-gauche, qu'une rotation à droite sur le nœud déséquilibré corrige ensuite.

Réponse

C · Une rotation à gauche sur l'enfant gauche, puis une rotation à droite sur le nœud
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 5

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 15 = 2(L + 6) − 2
L = 5

Réponse

L = 5

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: B

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): C: 10
2. C (10): B: 17, E: 15
3. E (15): D: 16, F: 29, G: 20
4. D (16)
5. B (17)
6. G (20)
7. F (29)

tour 5

B

Réponse

B

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