Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Que mesure l'analyse amortie ?

  1. ALe coût espéré sur des entrées aléatoires
  2. BLe coût d'un algorithme sur la meilleure entrée
  3. CLe coût de l'unique opération la plus chère, où qu'elle se trouve dans la suite
  4. DLe coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas
2.Algorithmes et complexitéDifficile

22n est-il dans O(2ⁿ) ?

  1. AOui, car les facteurs constants dans l'exposant sont toujours ignorés en grand O
  2. BOui, car les deux sont exponentiels
  3. CNon, car 22n croît plus lentement que 2ⁿ
  4. DNon, car 22n = 4ⁿ et 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ croît sans borne
3.Structures de donnéesMoyen

Une table de hachage de taille 7 utilise h(k) = k mod 7 et le sondage linéaire. Après l'insertion de 10, où est stocké 17 ?

  1. AÀ l'indice 3
  2. BÀ l'indice 4
  3. CÀ l'indice 6
  4. DÀ l'indice 0
4.Structures de donnéesDifficile

Sous l'hypothèse de hachage uniforme simple, quel est le temps attendu d'une recherche dans une table de hachage à chaînage contenant n clés et m compartiments ?

  1. AO(n)
  2. BO(1 + α), où α = n / m
  3. CO(m)
  4. DO(log n)
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFGCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
151031219917614ABCDEF

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet D. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 5.

départ : Dk = 5
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DE
  7. 7arête DF
  8. 8arête EF
  9. 9arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Le coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas

Pourquoi c'est la réponse

L'analyse amortie répartit le coût des opérations rares et coûteuses sur de nombreuses opérations bon marché, ce qui donne une moyenne garantie pour toute suite.

Réponse

D · Le coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Non, car 22n = 4ⁿ et 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ croît sans borne

Pourquoi c'est la réponse

Une constante ajoutée à l'exposant donne un facteur constant, mais une constante qui multiplie l'exposant change la base et le taux de croissance.

Réponse

D · Non, car 22n = 4ⁿ et 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ croît sans borne
3.Structures de données

Réponse: B · À l'indice 4

Pourquoi c'est la réponse

10 mod 7 = 3 et 17 mod 7 = 3 ; l'indice 3 est occupé, le sondage linéaire essaie donc la case suivante, l'indice 4.

Réponse

B · À l'indice 4
4.Structures de données

Réponse: B · O(1 + α), où α = n / m

Pourquoi c'est la réponse

Le calcul du hachage coûte O(1) et la longueur attendue d'une chaîne est α ; maintenir α borné par redimensionnement donne donc un temps attendu en O(1).

Réponse

B · O(1 + α), où α = n / m
5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Sommets impairs

A, D, F, G → 4
ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphes

Réponse: arête AC

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. DE (9)
2. EF (6)
3. BD (12)
4. BC (3)
5. AC (10)

numéro de l’arête 5

AC

Réponse

arête AC

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