Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Pourquoi de nombreuses routines de tri des bibliothèques passent-elles au tri par insertion pour les très petits sous-tableaux ?

  1. ALe tri par insertion est en O(n log n) dans le pire cas
  2. BLe tri par insertion a peu de surcoût et est rapide sur les entrées petites ou presque triées
  3. CLe tri par insertion utilise moins de mémoire que tout autre algorithme de tri sur les grandes entrées
  4. DLes algorithmes récursifs ne peuvent pas traiter les tableaux de moins de 10 éléments
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle est la solution de la récurrence T(n) = 2T(n/2) + n log n ?

  1. AΘ(n log² n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n)
3.Structures de donnéesMoyen

Quel type abstrait de données l'algorithme de Dijkstra utilise-t-il pour choisir le prochain sommet à traiter ?

  1. AUne file FIFO
  2. BUne pile
  3. CUne file de priorité min
  4. DUn ensemble sans ordre
4.Structures de donnéesDifficile

Pourquoi ne peut-on pas simplement supprimer des éléments d'un filtre de Bloom standard en remettant leurs bits à zéro ?

  1. ALa suppression porterait le taux de faux positifs à 100%
  2. BLes filtres de Bloom stockent les éléments complets, qui sont introuvables une fois hachés
  3. CCes bits peuvent aussi appartenir à d'autres éléments, ce qui provoquerait des faux négatifs
  4. DLes bits d'un filtre de Bloom ne peuvent pas être modifiés après sa création
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
1161032151312ABCDEF

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 4 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Le tri par insertion a peu de surcoût et est rapide sur les entrées petites ou presque triées

Pourquoi c'est la réponse

Pour n petit, la simple boucle du tri par insertion bat le surcoût de récursion du tri rapide ou du tri fusion, bien qu'elle soit en O(n²).

Réponse

B · Le tri par insertion a peu de surcoût et est rapide sur les entrées petites ou presque triées
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Θ(n log² n)

Pourquoi c'est la réponse

Le niveau k effectue environ n log(n / 2ᵏ) de travail, et la somme sur les log n niveaux donne Θ(n log² n), le deuxième cas étendu du théorème maître.

Réponse

A · Θ(n log² n)
3.Structures de données

Réponse: C · Une file de priorité min

Pourquoi c'est la réponse

Une file de priorité min, généralement un tas binaire, renvoie efficacement le sommet non visité de plus petite distance.

Réponse

C · Une file de priorité min
4.Structures de données

Réponse: C · Ces bits peuvent aussi appartenir à d'autres éléments, ce qui provoquerait des faux négatifs

Pourquoi c'est la réponse

Remettre à zéro un bit partagé ferait paraître absent un autre élément ; les filtres de Bloom à compteurs utilisent des compteurs au lieu de bits pour permettre la suppression.

Réponse

C · Ces bits peuvent aussi appartenir à d'autres éléments, ce qui provoquerait des faux négatifs
5.Théorie des graphes

Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Sommets impairs

C, D → 2
Chemin eulérien, pas de circuit

Réponse

Chemin eulérien, pas de circuit

Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.

6.Théorie des graphes

Réponse: D

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): C: 11
2. C (11): B: 17, E: 14
3. E (14): D: 16, F: 27
4. D (16)
5. B (17)
6. F (27)

tour 4

D

Réponse

D

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