Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Dans un tableau trié, vous cherchez deux éléments dont la somme vaut une cible en déplaçant un pointeur depuis chaque extrémité vers l'intérieur. Quelle est la complexité temporelle ?

AO(n²)
BO(n)
CO(n log n)
DO(log n)

2.Algorithmes et complexitéDifficile

L'algorithme de Strassen multiplie des matrices en utilisant 7 au lieu de 8 multiplications récursives de blocs de taille moitié. Quel est son temps d'exécution ?

AΘ(n² log n)
BΘ(n³)
CΘ(n²)
DΘ(n^{log₂ 7}), soit environ n^2,81

3.Structures de donnéesMoyen

À quoi sert un nœud sentinelle (factice) dans une liste chaînée ?

AÀ stocker le nombre d'éléments
BÀ simplifier le code en supprimant les cas particuliers en tête ou en queue
CÀ rendre la liste triée
DÀ empêcher la liste de dépasser un nombre maximal fixe de nœuds

4.Structures de donnéesDifficile

Un arbre de segments (segment tree) est généralement utilisé pour :

ATrier des chaînes par ordre alphabétique en stockant chaque préfixe dans un nœud distinct de l'arbre
BStocker les arêtes d'un graphe
CRépondre à des requêtes sur intervalles (comme des sommes d'intervalles) et à des mises à jour en O(log n)
DImplémenter une pile

5.Théorie des graphesMoyen

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 6

1Circuit eulérien
2Chemin eulérien, pas de circuit
3ni l’une ni l’autre

6.Théorie des graphesDifficile

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F

d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

Si la somme est trop petite, le pointeur gauche avance vers la droite ; si elle est trop grande, le pointeur droit recule vers la gauche : il y a donc au plus n étapes.

Réponse

B · O(n)

2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Θ(n^{log₂ 7}), soit environ n^2,81

Pourquoi c'est la réponse

Avec a = 7 et b = 2, n^{log₂ 7} domine le travail d'addition en O(n²), ce qui donne environ n^2,81.

Réponse

D · Θ(n^{log₂ 7}), soit environ n^2,81

3.Structures de données

Réponse: B · À simplifier le code en supprimant les cas particuliers en tête ou en queue

Pourquoi c'est la réponse

Avec une sentinelle, chaque nœud réel a un prédécesseur, donc l'insertion ou la suppression en tête ne demande aucun traitement particulier.

Réponse

B · À simplifier le code en supprimant les cas particuliers en tête ou en queue

4.Structures de données

Réponse: C · Répondre à des requêtes sur intervalles (comme des sommes d'intervalles) et à des mises à jour en O(log n)

Pourquoi c'est la réponse

Un arbre de segments stocke des agrégats pour des intervalles et permet des requêtes sur intervalles et des mises à jour ponctuelles en temps O(log n).

Réponse

C · Répondre à des requêtes sur intervalles (comme des sommes d'intervalles) et à des mises à jour en O(log n)

5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Sommets impairs

Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 17

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 3, C: 7

B (3): D: 13, E: 6

E (6): D: 12

C (7)

D (12): F: 17

F (17)

Plus court chemin

A → B → E → D → F

d(F) = 17

Réponse

d(F) = 17

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