Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La complexité temporelle de la version récursive naïve de Fibonacci (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) est :

  1. AConstante
  2. BLogarithmique
  3. CLinéaire
  4. DExponentielle
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelles sont les deux choses à montrer pour prouver qu'un problème de décision X est NP-complet ?

  1. AX est dans NP, et un problème NP-complet connu se réduit à X en temps polynomial
  2. BX est dans P, et X se réduit à SAT
  3. CX se réduit à un problème de P, et X est dans NP
  4. DX n'a pas d'algorithme polynomial, et X est décidable
3.Structures de donnéesMoyen

Comment insère-t-on un nouvel élément dans un tas binaire ?

  1. AOn reconstruit entièrement le tas
  2. BOn le place à la racine et on le fait descendre
  3. COn le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas
  4. DOn l'insère à sa position triée en décalant d'un cran vers la droite tous les éléments plus grands
4.Structures de donnéesDifficile

Pour chaque élément d'un tableau, vous voulez le prochain élément plus grand à sa droite, en O(n) au total. Quelle structure aide ?

  1. AUne table de hachage de tous les éléments
  2. BUn arbre binaire de recherche reconstruit pour chaque élément
  3. CUne pile qui conserve les éléments en attente de leur réponse
  4. DUne file contenant toutes les paires d'éléments
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 13 sommets et 15 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 13|E| = 15
k =
6.Théorie des graphesDifficile
385131761ABCDE

L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 2 ; les arêtes sautées ne comptent pas.

k = 2
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DE
  7. 7arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Exponentielle

Pourquoi c'est la réponse

L'arbre des appels croît à peu près comme φⁿ (environ 1,618ⁿ). La mémoïsation la réduit à O(n).

Réponse

D · Exponentielle
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · X est dans NP, et un problème NP-complet connu se réduit à X en temps polynomial

Pourquoi c'est la réponse

L'appartenance à NP montre que X n'est pas plus difficile que NP ; la réduction depuis un problème NP-complet connu montre que X est au moins aussi difficile que tout NP.

Réponse

A · X est dans NP, et un problème NP-complet connu se réduit à X en temps polynomial
3.Structures de données

Réponse: C · On le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas

Pourquoi c'est la réponse

L'ajout à la fin maintient l'arbre complet ; les échanges avec le parent rétablissent l'ordre en O(log n) étapes.

Réponse

C · On le place à la fin du tableau et on le fait remonter tant qu'il viole la propriété de tas
4.Structures de données

Réponse: C · Une pile qui conserve les éléments en attente de leur réponse

Pourquoi c'est la réponse

En parcourant de gauche à droite, on dépile chaque élément plus petit que l'élément courant (l'élément courant est leur réponse), puis on empile celui-ci ; chaque élément est déplacé au plus deux fois.

Réponse

C · Une pile qui conserve les éléments en attente de leur réponse
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 3

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

13 − 1 = 12

Arêtes à retirer

k = 15 − 12 = 3

Réponse

k = 3
6.Théorie des graphes

Réponse: arête AB

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

1. BE (1)
2. AB (3)
3. BC (5)
4. DE (6)

numéro de l’arête 2

AB

Réponse

arête AB

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