Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Vous triez une fois un tableau de n éléments, puis répondez à k requêtes d'appartenance par recherche dichotomique. Quel est le coût total ?

  1. AO(nk)
  2. BO(n log n + k log n)
  3. CO(n + k)
  4. DO(k n log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Les plus courts chemins simples peuvent être trouvés en temps polynomial. Que sait-on de la recherche du plus long chemin simple entre deux sommets dans un graphe quelconque ?

  1. AC'est indécidable
  2. BC'est NP-difficile
  3. CC'est toujours résoluble en O(V + E)
  4. DOn peut le résoudre avec l'algorithme de Dijkstra en prenant l'opposé des poids
3.Structures de donnéesMoyen

Dans un tas binaire min stocké dans un tableau (indices commençant à 0), les enfants du nœud d'indice i se trouvent aux indices :

  1. Ai/2 et i/2 + 1
  2. B2i et 2i + 1
  3. C2i + 1 et 2i + 2
  4. Di + 1 et i + 2
4.Structures de donnéesDifficile

L'algorithme de Kahn pour le tri topologique retire répétitivement les sommets de degré entrant 0. Quelle structure contient ces sommets ?

  1. AUne file (ou toute collection) des sommets de degré entrant 0
  2. BUne matrice d'adjacence indiquant quels sommets ont déjà été retirés
  3. CUn tas max ordonné par degré sortant
  4. DUne pile de toutes les arêtes visitées
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 4 sommets de degré 3, 3 sommets de degré 4, 4 sommets de degré 5, 3 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

4 × deg 33 × deg 44 × deg 53 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
141920161510271ABCDEFG

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n log n + k log n)

Pourquoi c'est la réponse

Le tri coûte O(n log n) et chaque requête O(log n) ; cela bat k parcours linéaires (O(nk)) quand k est grand.

Réponse

B · O(n log n + k log n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · C'est NP-difficile

Pourquoi c'est la réponse

Un plus long chemin simple de longueur V − 1 est un chemin hamiltonien, problème NP-complet ; sur les graphes orientés acycliques, il est cependant résoluble en temps linéaire.

Réponse

B · C'est NP-difficile
3.Structures de données

Réponse: C · 2i + 1 et 2i + 2

Pourquoi c'est la réponse

Pour des tableaux indexés à partir de 0, l'enfant gauche est en 2i + 1, l'enfant droit en 2i + 2 et le parent en ⌊(i − 1)/2⌋.

Réponse

C · 2i + 1 et 2i + 2
4.Structures de données

Réponse: A · Une file (ou toute collection) des sommets de degré entrant 0

Pourquoi c'est la réponse

Les sommets prêts sont conservés dans une file ; en retirer un diminue le degré entrant de ses voisins, et ceux qui atteignent 0 sont ajoutés, ce qui donne un temps en O(V + E).

Réponse

A · Une file (ou toute collection) des sommets de degré entrant 0
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 24

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 50 = 2(L + 14) − 2
L = 24

Réponse

L = 24

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: W = 50

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

GD (1): prise
EF (2): prise
GB (7): prise
DF (10): prise
AB (14): prise
DE (15): sautée, ferme un cycle
CE (16): prise

Poids total

W = 1 + 2 + 7 + 10 + 14 + 16 = 50

Réponse

W = 50

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