Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Une fonction exécute une boucle de n itérations, puis, séparément, une autre boucle de n itérations. Quelle est sa complexité temporelle ?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Le tri par insertion s'exécute en O(n) sur une entrée triée. Cela contredit-il la borne inférieure Ω(n log n) des tris par comparaisons ?

  1. ANon, car le tri par insertion n'est pas un tri par comparaisons
  2. BNon, la borne inférieure s'applique au pire cas sur toutes les entrées, pas à chaque entrée
  3. COui, mais seulement pour les tableaux de moins de 100 éléments
  4. DOui, la borne inférieure est donc fausse
3.Structures de donnéesMoyen

Comment fonctionne l'extraction du minimum (extract-min) dans un tas binaire min ?

  1. AOn cherche le nouveau minimum parmi toutes les feuilles
  2. BOn retire la racine et on décale tous les éléments d'une case vers la gauche
  3. COn déplace le dernier élément à la racine et on le fait descendre
  4. DOn retire le dernier élément du tableau
4.Structures de donnéesDifficile

La structure union-find (ensembles disjoints) avec union par rang et compression de chemin a un coût amorti par opération de :

  1. AO(α(n)), l'inverse de la fonction d'Ackermann, pratiquement constant
  2. BExactement O(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 16 sommets et 25 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 16|E| = 25
k =
6.Théorie des graphesDifficile
51936181241116ABCDEFG

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet D. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 3.

départ : Dk = 3
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BD
  4. 4arête DE
  5. 5arête DF
  6. 6arête GB
  7. 7arête GC
  8. 8arête GD
  9. 9arête GE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

n + n = 2n, et les facteurs constants sont supprimés : la fonction est donc O(n).

Réponse

A · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Non, la borne inférieure s'applique au pire cas sur toutes les entrées, pas à chaque entrée

Pourquoi c'est la réponse

La borne dit que tout tri par comparaisons nécessite environ n log n comparaisons sur une certaine entrée de taille n ; des entrées particulières peuvent être bien plus rapides.

Réponse

B · Non, la borne inférieure s'applique au pire cas sur toutes les entrées, pas à chaque entrée
3.Structures de données

Réponse: C · On déplace le dernier élément à la racine et on le fait descendre

Pourquoi c'est la réponse

Le dernier élément comble le trou à la racine et est échangé avec son plus petit enfant jusqu'à ce que la propriété de tas soit respectée, en O(log n).

Réponse

C · On déplace le dernier élément à la racine et on le fait descendre
4.Structures de données

Réponse: A · O(α(n)), l'inverse de la fonction d'Ackermann, pratiquement constant

Pourquoi c'est la réponse

Avec les deux optimisations, les opérations prennent un temps amorti O(α(n)) ; α(n) ≤ 4 pour tout n réaliste.

Réponse

A · O(α(n)), l'inverse de la fonction d'Ackermann, pratiquement constant
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 10

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

16 − 1 = 15

Arêtes à retirer

k = 25 − 15 = 10

Réponse

k = 10
6.Théorie des graphes

Réponse: arête DE

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. BD (3)
2. AB (5)
3. DE (6)
4. GD (11)
5. GC (4)
6. DF (18)

numéro de l’arête 3

DE

Réponse

arête DE

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