Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercicesRetour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La récurrence T(n) = 2T(n/2) + O(n) a pour solution :

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Prendre les deux extrémités de chaque arête d'un couplage maximal donne une couverture par sommets. Quelle est la qualité de cette couverture ?

  1. ADe qualité inconnue par rapport à l'optimum
  2. BAu plus log n fois le minimum
  3. CToujours une couverture par sommets minimale
  4. DAu plus deux fois la taille d'une couverture par sommets minimale
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle structure de données utilise-t-on pour vérifier si les parenthèses de "{[()]}" sont équilibrées ?

  1. AUne file
  2. BUne pile
  3. CUne table de hachage
  4. DUn arbre binaire de recherche
4.Structures de donnéesDifficile

La suppression d'un nœud ayant deux enfants dans un arbre binaire de recherche se fait généralement en :

  1. AL'échangeant avec la racine
  2. BReconstruisant de zéro le sous-arbre situé en dessous et en réinsérant toutes les clés qu'il contenait
  3. CSupprimant tout le sous-arbre
  4. DLe remplaçant par son successeur infixe (ou prédécesseur) puis en supprimant ce nœud
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFGCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDEF

Combien de marches de longueur 2 vont de A à B ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

D'après le théorème maître (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n).

Réponse

A · O(n log n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Au plus deux fois la taille d'une couverture par sommets minimale

Pourquoi c'est la réponse

Les arêtes du couplage n'ont aucun sommet en commun : l'optimum nécessite donc au moins un sommet par arête, tandis que cette méthode en prend deux, d'où une 2-approximation.

Réponse

D · Au plus deux fois la taille d'une couverture par sommets minimale
3.Structures de données

Réponse: B · Une pile

Pourquoi c'est la réponse

On empile chaque symbole ouvrant et on dépile à chaque symbole fermant ; celui-ci doit correspondre au symbole dépilé, et la pile doit être vide à la fin.

Réponse

B · Une pile
4.Structures de données

Réponse: D · Le remplaçant par son successeur infixe (ou prédécesseur) puis en supprimant ce nœud

Pourquoi c'est la réponse

Le successeur infixe a au plus un enfant, il peut donc être facilement supprimé après avoir copié sa clé dans le nœud à supprimer.

Réponse

D · Le remplaçant par son successeur infixe (ou prédécesseur) puis en supprimant ce nœud
5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 1, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Sommets impairs

C, D, E, F → 4
ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphes

Réponse: N = 1

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Voisins communs

(M²)AB = 0·1 + 1·0 + 1·1 + 0·1 + 0·0 + 0·0 = 1

Réponse

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms