Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Que mesure l'analyse amortie ?

  1. ALe coût de l'unique opération la plus chère, où qu'elle se trouve dans la suite
  2. BLe coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas
  3. CLe coût espéré sur des entrées aléatoires
  4. DLe coût d'un algorithme sur la meilleure entrée
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle définition de la classe NP est correcte ?

  1. ALes problèmes qui ne peuvent pas être résolus en temps polynomial
  2. BLes problèmes qui ne sont pas polynomiaux
  3. CLes problèmes qu'aucun algorithme ne peut résoudre
  4. DLes problèmes de décision dont les réponses « oui » peuvent être vérifiées en temps polynomial à l'aide d'un certificat
3.Structures de donnéesMoyen

Vous avez une référence vers un nœud au milieu d'une liste. Dans quelle liste pouvez-vous le supprimer en O(1) ?

  1. AUne liste simplement chaînée
  2. BUn tableau dynamique
  3. CUne liste doublement chaînée
  4. DUn tableau trié
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle propriété un arbre rouge-noir doit-il respecter ?

  1. ATout nœud rouge doit avoir des enfants rouges, si bien que les nœuds rouges forment toujours des chaînes ininterrompues jusqu'aux feuilles
  2. BLa racine doit être rouge
  3. CTout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs
  4. DChaque nœud doit être rouge
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 2 sommets de degré 3, 2 sommets de degré 4, 2 sommets de degré 5, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

2 × deg 32 × deg 42 × deg 5
L =
6.Théorie des graphesDifficile
101211321375ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Le coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas

Pourquoi c'est la réponse

L'analyse amortie répartit le coût des opérations rares et coûteuses sur de nombreuses opérations bon marché, ce qui donne une moyenne garantie pour toute suite.

Réponse

B · Le coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Les problèmes de décision dont les réponses « oui » peuvent être vérifiées en temps polynomial à l'aide d'un certificat

Pourquoi c'est la réponse

Pour un problème NP, une solution proposée (certificat) peut être vérifiée rapidement, par exemple vérifier qu'une affectation donnée satisfait une formule booléenne.

Réponse

D · Les problèmes de décision dont les réponses « oui » peuvent être vérifiées en temps polynomial à l'aide d'un certificat
3.Structures de données

Réponse: C · Une liste doublement chaînée

Pourquoi c'est la réponse

Un nœud doublement chaîné connaît son prédécesseur, on peut donc relier directement prev et next ; une liste simplement chaînée doit rechercher le prédécesseur.

Réponse

C · Une liste doublement chaînée
4.Structures de données

Réponse: C · Tout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs

Pourquoi c'est la réponse

Règles rouge-noir : les nœuds sont rouges ou noirs, la racine est noire, les nœuds rouges ont des enfants noirs et tous les chemins ont la même hauteur noire, ce qui maintient la hauteur ≤ 2 log₂(n + 1).

Réponse

C · Tout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 14

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 24 = 2(L + 6) − 2
L = 14

Réponse

L = 14

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 22

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 10, C: 12
B (10): E: 15
C (12)
E (15): D: 17, F: 22
D (17)
F (22)

Plus court chemin

A → B → E → F
d(F) = 22

Réponse

d(F) = 22

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