Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Que calcule l'algorithme de Floyd-Warshall, et en combien de temps ?

  1. ALes plus courts chemins depuis un sommet source vers tous les autres en O(V + E)
  2. BUn arbre couvrant de poids minimal en O(E log V)
  3. CLes plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)
  4. DUn ordre topologique en O(V²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pourquoi l'algorithme de Dijkstra peut-il donner des résultats faux lorsque certains poids d'arêtes sont négatifs ?

  1. AUn sommet est définitivement fixé lorsqu'il est extrait, mais une arête négative ultérieure pourrait encore lui donner un chemin plus court
  2. BIl ne fonctionne que sur les graphes non orientés
  3. CLes nombres négatifs ne peuvent pas être stockés dans une file de priorité
  4. DIl entre dans une boucle infinie à chaque arête négative
3.Structures de donnéesMoyen

Un parcours infixe (in-order) d'un arbre binaire de recherche visite les clés dans :

  1. AL'ordre croissant
  2. BToujours l'ordre décroissant
  3. CL'ordre d'insertion
  4. DL'ordre par niveaux
4.Structures de donnéesDifficile

Dans un tampon circulaire, front == rear peut signifier vide ou plein. Quelle est une manière courante de les distinguer ?

  1. AChoisir une taille de tampon égale à une puissance de deux
  2. BToujours vider le tampon dès que front est égal à rear, si bien que l'état est vide
  3. CTenir un compteur d'éléments séparé, ou toujours laisser une case inutilisée
  4. DStocker front et rear dans la même variable
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 3 sommets de degré 4, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

3 × deg 4
L =
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDE

Combien de marches de longueur 2 vont de B à C ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Les plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)

Pourquoi c'est la réponse

Floyd-Warshall est un algorithme de programmation dynamique qui autorise tour à tour chaque sommet comme point intermédiaire, en temps O(V³).

Réponse

C · Les plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Un sommet est définitivement fixé lorsqu'il est extrait, mais une arête négative ultérieure pourrait encore lui donner un chemin plus court

Pourquoi c'est la réponse

L'étape gloutonne repose sur des poids positifs ou nuls pour que les distances extraites soient définitives ; on utilise Bellman-Ford quand les poids peuvent être négatifs.

Réponse

A · Un sommet est définitivement fixé lorsqu'il est extrait, mais une arête négative ultérieure pourrait encore lui donner un chemin plus court
3.Structures de données

Réponse: A · L'ordre croissant

Pourquoi c'est la réponse

Visiter le sous-arbre gauche, puis le nœud, puis le sous-arbre droit fournit les clés du BST dans l'ordre trié.

Réponse

A · L'ordre croissant
4.Structures de données

Réponse: C · Tenir un compteur d'éléments séparé, ou toujours laisser une case inutilisée

Pourquoi c'est la réponse

Avec un compteur, vide signifie count = 0 et plein signifie count = capacité ; avec une case vide, plein se définit par (rear + 1) mod n == front.

Réponse

C · Tenir un compteur d'éléments séparé, ou toujours laisser une case inutilisée
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 8

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 12 = 2(L + 3) − 2
L = 8

Réponse

L = 8

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: N = 2

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Voisins communs

(M²)BC = 1·1 + 0·1 + 1·0 + 1·0 + 1·1 = 2

Réponse

N = 2

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