Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercicesRetour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle de la multiplication de deux matrices n × n avec la triple boucle standard ?

  1. AO(n² log n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Le tri par insertion s'exécute en O(n) sur une entrée triée. Cela contredit-il la borne inférieure Ω(n log n) des tris par comparaisons ?

  1. ANon, car le tri par insertion n'est pas un tri par comparaisons
  2. BNon, la borne inférieure s'applique au pire cas sur toutes les entrées, pas à chaque entrée
  3. COui, la borne inférieure est donc fausse
  4. DOui, mais seulement pour les tableaux de moins de 100 éléments
3.Structures de donnéesMoyen

Qu'est-ce qui est vrai de la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté ?

  1. AElle est toujours triangulaire supérieure
  2. BChaque ligne contient exactement un 1
  3. CElle est symétrique par rapport à la diagonale principale
  4. DSa diagonale principale contient toujours des 1
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle propriété un arbre rouge-noir doit-il respecter ?

  1. AChaque nœud doit être rouge
  2. BLa racine doit être rouge
  3. CTout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs
  4. DTout nœud rouge doit avoir des enfants rouges, si bien que les nœuds rouges forment toujours des chaînes ininterrompues jusqu'aux feuilles
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDEF

Combien de marches de longueur 2 vont de E à C ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n³)

Pourquoi c'est la réponse

Il y a n² entrées et chacune nécessite n multiplications, soit n³ opérations.

Réponse

B · O(n³)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Non, la borne inférieure s'applique au pire cas sur toutes les entrées, pas à chaque entrée

Pourquoi c'est la réponse

La borne dit que tout tri par comparaisons nécessite environ n log n comparaisons sur une certaine entrée de taille n ; des entrées particulières peuvent être bien plus rapides.

Réponse

B · Non, la borne inférieure s'applique au pire cas sur toutes les entrées, pas à chaque entrée
3.Structures de données

Réponse: C · Elle est symétrique par rapport à la diagonale principale

Pourquoi c'est la réponse

Dans un graphe non orienté, l'arête {u, v} signifie que M[u][v] et M[v][u] sont tous deux renseignés, donc la matrice est égale à sa transposée.

Réponse

C · Elle est symétrique par rapport à la diagonale principale
4.Structures de données

Réponse: C · Tout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs

Pourquoi c'est la réponse

Règles rouge-noir : les nœuds sont rouges ou noirs, la racine est noire, les nœuds rouges ont des enfants noirs et tous les chemins ont la même hauteur noire, ce qui maintient la hauteur ≤ 2 log₂(n + 1).

Réponse

C · Tout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs
5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Sommets impairs

B, C, D, E → 4
ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphes

Réponse: N = 1

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Voisins communs

(M²)EC = 0·1 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·1 + 0·0 = 1

Réponse

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms