Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel espace de pile utilise une fonction factorielle récursive simple fact(n) = n × fact(n − 1) ?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Comment se comparent n! et 2ⁿ pour n grand ?

  1. A2ⁿ croît plus vite que n!
  2. BIls croissent au même rythme
  3. Cn! croît plus vite que 2ⁿ
  4. Dn! est O(n²)
3.Structures de donnéesMoyen

Qu'est-ce qui est vrai de la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté ?

  1. AChaque ligne contient exactement un 1
  2. BSa diagonale principale contient toujours des 1
  3. CElle est toujours triangulaire supérieure
  4. DElle est symétrique par rapport à la diagonale principale
4.Structures de donnéesDifficile

Quels sont les coûts en temps et en espace supplémentaire de l'inversion sur place d'une liste simplement chaînée ?

  1. AO(n) en temps et O(n) en espace supplémentaire
  2. BO(1) en temps et O(1) en espace supplémentaire
  3. CO(n) en temps et O(1) en espace supplémentaire
  4. DO(n log n) en temps et O(1) en espace supplémentaire
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 14 sommets et 15 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 14|E| = 15
k =
6.Théorie des graphesDifficile
1141632106517ABCDEFG

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet B. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 2.

départ : Bk = 2
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête CE
  4. 4arête DF
  5. 5arête EF
  6. 6arête GB
  7. 7arête GC
  8. 8arête GD
  9. 9arête GE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

La récursion atteint une profondeur de n appels avant tout retour, et chaque appel nécessite un cadre de pile : elle utilise donc un espace O(n).

Réponse

B · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · n! croît plus vite que 2ⁿ

Pourquoi c'est la réponse

Pour n ≥ 4, n! dépasse 2ⁿ, et le rapport croît sans borne car chaque facteur supplémentaire de n! est supérieur à 2.

Réponse

C · n! croît plus vite que 2ⁿ
3.Structures de données

Réponse: D · Elle est symétrique par rapport à la diagonale principale

Pourquoi c'est la réponse

Dans un graphe non orienté, l'arête {u, v} signifie que M[u][v] et M[v][u] sont tous deux renseignés, donc la matrice est égale à sa transposée.

Réponse

D · Elle est symétrique par rapport à la diagonale principale
4.Structures de données

Réponse: C · O(n) en temps et O(1) en espace supplémentaire

Pourquoi c'est la réponse

Trois pointeurs (précédent, courant, suivant) permettent d'inverser chaque lien en un seul passage sans allouer de nouveaux nœuds.

Réponse

C · O(n) en temps et O(1) en espace supplémentaire
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 2

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

14 − 1 = 13

Arêtes à retirer

k = 15 − 13 = 2

Réponse

k = 2
6.Théorie des graphes

Réponse: arête GD

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. GB (10)
2. GD (5)
3. DF (3)
4. EF (2)
5. GC (6)
6. AC (4)

numéro de l’arête 2

GD

Réponse

arête GD

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