Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La complexité temporelle de la version récursive naïve de Fibonacci (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) est :

  1. ALinéaire
  2. BLogarithmique
  3. CConstante
  4. DExponentielle
2.Algorithmes et complexitéDifficile

D'après le théorème maître, T(n) = 8T(n/2) + O(n²) a pour solution :

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n³)
3.Structures de donnéesMoyen

Une file est implémentée avec deux piles : on empile sur une pile « in » et on dépile depuis une pile « out », remplie à partir de « in » lorsqu'elle est vide. Quel est le coût amorti par opération ?

  1. AO(n²)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle structure permet de calculer le maximum de chaque fenêtre de taille k dans un tableau en O(n) au total ?

  1. AUn deque contenant des indices par ordre décroissant de valeur
  2. BUn tas min reconstruit pour chaque fenêtre
  3. CUne liste simplement chaînée des éléments de la fenêtre
  4. DUn tableau trié mis à jour par décalage
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 8 sommets et 17 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 8|E| = 17
k =
6.Théorie des graphesDifficile
121396231516ABCDEF

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 3 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Exponentielle

Pourquoi c'est la réponse

L'arbre des appels croît à peu près comme φⁿ (environ 1,618ⁿ). La mémoïsation la réduit à O(n).

Réponse

D · Exponentielle
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Θ(n³)

Pourquoi c'est la réponse

log₂ 8 = 3, et n² croît plus lentement que n³, donc les feuilles dominent : Θ(n³).

Réponse

D · Θ(n³)
3.Structures de données

Réponse: B · O(1)

Pourquoi c'est la réponse

Chaque élément est empilé et dépilé au plus deux fois au total ; même si un remplissage peut coûter O(n), la moyenne sur une suite d'opérations est O(1).

Réponse

B · O(1)
4.Structures de données

Réponse: A · Un deque contenant des indices par ordre décroissant de valeur

Pourquoi c'est la réponse

L'avant du deque est toujours le maximum de la fenêtre ; chaque indice entre et sort du deque une seule fois, donc le travail est linéaire.

Réponse

A · Un deque contenant des indices par ordre décroissant de valeur
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 10

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

8 − 1 = 7

Arêtes à retirer

k = 17 − 7 = 10

Réponse

k = 10
6.Théorie des graphes

Réponse: C

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 12, C: 13
2. B (12): D: 18, E: 18
3. C (13): E: 15
4. E (15): F: 16
5. F (16)
6. D (18)

tour 3

C

Réponse

C

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