Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle de l'algorithme standard de programmation dynamique pour la plus longue sous-séquence commune de chaînes de longueurs m et n ?

  1. AO(m + n)
  2. BO(mn log n)
  3. CO(2m+n)
  4. DO(mn)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pourquoi toute recherche par comparaisons dans un tableau trié nécessite-t-elle Ω(log n) comparaisons dans le pire cas ?

  1. AChaque élément doit être comparé au moins une fois
  2. BUn arbre de décision à n issues possibles doit avoir une profondeur d'au moins log₂ n
  3. CLa recherche dichotomique est le seul algorithme possible, et elle nécessite log₂ n comparaisons
  4. DChaque comparaison prend un temps logarithmique
3.Structures de donnéesMoyen

Que se passe-t-il lorsqu'une table de hachage est rehachée après que son facteur de charge a dépassé un seuil ?

  1. ALes clés les plus anciennes sont supprimées pour faire de la place
  2. BSeules les clés en collision sont déplacées dans une nouvelle liste de débordement à la fin de la table
  3. CLes clés existantes sont triées sur place
  4. DUne table plus grande est allouée et chaque clé y est réinsérée
4.Structures de donnéesDifficile

Que fait un arbre splay (splay tree) après chaque accès ?

  1. AIl recolorie les nœuds du chemin de recherche
  2. BIl fait remonter le nœud accédé jusqu'à la racine par des rotations
  3. CIl déplace le nœud accédé vers une feuille
  4. DIl reconstruit tout l'arbre sous forme équilibrée
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K7 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K7
H =
6.Théorie des graphesDifficile
851061424ABCDE

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(mn)

Pourquoi c'est la réponse

La table compte (m + 1)(n + 1) cases et chacune est calculée en O(1) à partir de ses voisines.

Réponse

D · O(mn)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Un arbre de décision à n issues possibles doit avoir une profondeur d'au moins log₂ n

Pourquoi c'est la réponse

Chaque comparaison divise au mieux par deux l'ensemble des possibilités restantes ; distinguer n positions nécessite donc au moins log₂ n comparaisons.

Réponse

B · Un arbre de décision à n issues possibles doit avoir une profondeur d'au moins log₂ n
3.Structures de données

Réponse: D · Une table plus grande est allouée et chaque clé y est réinsérée

Pourquoi c'est la réponse

Comme l'indice est calculé modulo la taille de la table, toutes les clés doivent être rehachées dans la nouvelle table, plus grande ; en doublant la taille, le coût reste O(1) amorti.

Réponse

D · Une table plus grande est allouée et chaque clé y est réinsérée
4.Structures de données

Réponse: B · Il fait remonter le nœud accédé jusqu'à la racine par des rotations

Pourquoi c'est la réponse

Le splaying déplace le nœud accédé vers la racine par des rotations ; une opération isolée peut coûter O(n), mais le coût amorti est O(log n).

Réponse

B · Il fait remonter le nœud accédé jusqu'à la racine par des rotations
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 360

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Réponse

H = 360
6.Théorie des graphes

Réponse: W = 19

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

DE (2): prise
BE (4): prise
AC (5): prise
BD (6): sautée, ferme un cycle
AB (8): prise

Poids total

W = 2 + 4 + 5 + 8 = 19

Réponse

W = 19

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