Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La complexité temporelle de la version récursive naïve de Fibonacci (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) est :

  1. ALogarithmique
  2. BLinéaire
  3. CConstante
  4. DExponentielle
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Comment l'algorithme de Bellman-Ford détecte-t-il un cycle de poids négatif accessible depuis la source ?

  1. AIl exécute deux fois l'algorithme de Dijkstra et compare les deux résultats de distances
  2. BIl compte les cycles par un parcours en profondeur
  3. CAprès V − 1 tours, il vérifie si une arête peut encore être relâchée
  4. DIl vérifie si une arête a un poids négatif
3.Structures de donnéesMoyen

Qu'est-ce qui est vrai de la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté ?

  1. AChaque ligne contient exactement un 1
  2. BElle est toujours triangulaire supérieure
  3. CElle est symétrique par rapport à la diagonale principale
  4. DSa diagonale principale contient toujours des 1
4.Structures de donnéesDifficile

Pourquoi ne peut-on pas simplement supprimer des éléments d'un filtre de Bloom standard en remettant leurs bits à zéro ?

  1. ALes filtres de Bloom stockent les éléments complets, qui sont introuvables une fois hachés
  2. BCes bits peuvent aussi appartenir à d'autres éléments, ce qui provoquerait des faux négatifs
  3. CLes bits d'un filtre de Bloom ne peuvent pas être modifiés après sa création
  4. DLa suppression porterait le taux de faux positifs à 100%
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
1558171539ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Exponentielle

Pourquoi c'est la réponse

L'arbre des appels croît à peu près comme φⁿ (environ 1,618ⁿ). La mémoïsation la réduit à O(n).

Réponse

D · Exponentielle
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Après V − 1 tours, il vérifie si une arête peut encore être relâchée

Pourquoi c'est la réponse

Toutes les vraies distances minimales sont trouvées en V − 1 tours ; si une arête peut encore être améliorée, un cycle négatif existe forcément.

Réponse

C · Après V − 1 tours, il vérifie si une arête peut encore être relâchée
3.Structures de données

Réponse: C · Elle est symétrique par rapport à la diagonale principale

Pourquoi c'est la réponse

Dans un graphe non orienté, l'arête {u, v} signifie que M[u][v] et M[v][u] sont tous deux renseignés, donc la matrice est égale à sa transposée.

Réponse

C · Elle est symétrique par rapport à la diagonale principale
4.Structures de données

Réponse: B · Ces bits peuvent aussi appartenir à d'autres éléments, ce qui provoquerait des faux négatifs

Pourquoi c'est la réponse

Remettre à zéro un bit partagé ferait paraître absent un autre élément ; les filtres de Bloom à compteurs utilisent des compteurs au lieu de bits pour permettre la suppression.

Réponse

B · Ces bits peuvent aussi appartenir à d'autres éléments, ce qui provoquerait des faux négatifs
5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Sommets impairs

0
Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien
6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 17

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 15, C: 5
C (5): B: 13, E: 12
E (12): D: 27
B (13): D: 14
D (14): F: 17
F (17)

Plus court chemin

A → C → B → D → F
d(F) = 17

Réponse

d(F) = 17

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