Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Est-il correct de dire qu'un algorithme en O(n²) est aussi en O(n³) ?

AOui, car le grand O est une borne supérieure et n² ne croît pas plus vite que n³
BOui, mais seulement si n est inférieur à 100
CNon, car n³ est plus petit que n² pour n grand
DNon, car le grand O doit toujours donner le taux de croissance exact de la fonction

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle est la différence entre un problème indécidable et un problème intraitable ?

ALes problèmes indécidables sont dans NP, tandis que les problèmes intraitables sont dans P
BLes problèmes intraitables ne peuvent être résolus par aucun algorithme, tandis que les indécidables demandent seulement un temps exponentiel
CUn problème indécidable n'a aucun algorithme valable pour toutes les entrées ; un problème intraitable en a un, mais il est trop lent
DLes deux signifient que le problème n'a aucun algorithme

3.Structures de donnéesMoyen

Quelle est la valeur de l'expression postfixée 3 4 + 2 * ?

4.Structures de donnéesDifficile

Dans l'algorithme de Kruskal pour l'arbre couvrant de poids minimal, à quoi sert la structure union-find ?

AÀ trier les arêtes par poids
BÀ choisir le sommet de départ
CÀ stocker la distance actuelle de chaque sommet depuis la source pendant le parcours
DÀ vérifier si les deux extrémités d'une arête sont déjà reliées

5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 7 sommets et 17 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 7|E| = 17

k =

6.Théorie des graphesDifficile

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F

d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Oui, car le grand O est une borne supérieure et n² ne croît pas plus vite que n³

Pourquoi c'est la réponse

Le grand O est une borne supérieure : l'affirmation est vraie mais pas serrée ; Θ(n²) indique le taux de croissance exact.

Réponse

A · Oui, car le grand O est une borne supérieure et n² ne croît pas plus vite que n³

2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Un problème indécidable n'a aucun algorithme valable pour toutes les entrées ; un problème intraitable en a un, mais il est trop lent

Pourquoi c'est la réponse

Le problème de l'arrêt n'a aucun algorithme ; un problème NP-difficile comme le TSP peut être résolu par force brute, simplement pas en temps polynomial connu.

Réponse

C · Un problème indécidable n'a aucun algorithme valable pour toutes les entrées ; un problème intraitable en a un, mais il est trop lent

3.Structures de données

Réponse: A · 14

Pourquoi c'est la réponse

On empile 3 et 4, + donne 7 ; on empile 2, * donne 7 × 2 = 14.

Réponse

A · 14

4.Structures de données

Réponse: D · À vérifier si les deux extrémités d'une arête sont déjà reliées

Pourquoi c'est la réponse

Find indique si les deux extrémités sont dans la même composante ; sinon, l'arête est ajoutée et union fusionne les composantes.

Réponse

D · À vérifier si les deux extrémités d'une arête sont déjà reliées

5.Théorie des graphes

Réponse: k = 11

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

7 − 1 = 6

Arêtes à retirer

k = 17 − 6 = 11

Réponse

k = 11

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 20

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 3, C: 5

B (3): D: 7, G: 14

C (5)

D (7): E: 19, F: 20

G (14)

E (19)

F (20)

Plus court chemin

A → B → D → F

d(F) = 20

Réponse

d(F) = 20

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