Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Un algorithme glouton :

  1. AN'utilise que la récursivité
  2. BFait le meilleur choix local à chaque étape
  3. CEssaie toutes les solutions possibles
  4. DDonne toujours la solution optimale
2.Algorithmes et complexitéDifficile

L'algorithme de Strassen multiplie des matrices en utilisant 7 au lieu de 8 multiplications récursives de blocs de taille moitié. Quel est son temps d'exécution ?

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(nlog₂ 7), soit environ n2,81
  4. DΘ(n2)
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle quantité de mémoire une matrice d'adjacence utilise-t-elle pour un graphe à V sommets ?

  1. AO(E)
  2. BO(V²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(log V)
4.Structures de donnéesDifficile

La complexité temporelle de decrease-key dans un tas binaire (la position de l'élément étant connue) est :

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 4 sommets de degré 3, 3 sommets de degré 4, 3 sommets de degré 5, 4 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

4 × deg 33 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
13172121418ABCDE

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Fait le meilleur choix local à chaque étape

Pourquoi c'est la réponse

Les algorithmes gloutons sont rapides et optimaux pour certains problèmes (par ex. Dijkstra, codage de Huffman), mais pas en général (par ex. le rendu de monnaie avec certains systèmes de pièces).

Réponse

B · Fait le meilleur choix local à chaque étape
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Θ(nlog₂ 7), soit environ n2,81

Pourquoi c'est la réponse

Avec a = 7 et b = 2, nlog₂ 7 domine le travail d'addition en O(n²), ce qui donne environ n2,81.

Réponse

C · Θ(nlog₂ 7), soit environ n2,81
3.Structures de données

Réponse: B · O(V²)

Pourquoi c'est la réponse

Une matrice d'adjacence stocke V × V entrées, ce qui est efficace pour les graphes denses ; les listes d'adjacence utilisent O(V + E), ce qui est préférable pour les graphes creux.

Réponse

B · O(V²)
4.Structures de données

Réponse: C · O(log n)

Pourquoi c'est la réponse

Après la diminution de la clé, l'élément remonte (sift-up) au plus de la hauteur du tas. Les tas de Fibonacci atteignent un decrease-key en O(1) amorti.

Réponse

C · O(log n)
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 21

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 47 = 2(L + 14) − 2
L = 21

Réponse

L = 21

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: W = 24

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

DE (1): prise
BC (2): prise
BE (8): prise
BD (12): sautée, ferme un cycle
AB (13): prise

Poids total

W = 1 + 2 + 8 + 13 = 24

Réponse

W = 24

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