Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercicesRetour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Combien de niveaux comporte la récursion du tri fusion pour un tableau de n éléments ?

  1. AEnviron n / 2
  2. BEnviron n
  3. CEnviron √n
  4. DEnviron log₂ n
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel énoncé sur la notation petit o est correct ?

  1. An² = o(n)
  2. Bn = o(n), puisque toute fonction est un petit o d'elle-même
  3. C2n = o(n), car 2n croît lentement
  4. Dn = o(n²), mais n n'est pas o(n)
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle quantité de mémoire une matrice d'adjacence utilise-t-elle pour un graphe à V sommets ?

  1. AO(V²)
  2. BO(E)
  3. CO(log V)
  4. DO(V + E)
4.Structures de donnéesDifficile

La complexité temporelle de decrease-key dans un tas binaire (la position de l'élément étant connue) est :

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(1)
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 4 sommets de degré 4, 4 sommets de degré 5, 4 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

4 × deg 44 × deg 54 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
713122311041ABCDEFG

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 6 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Environ log₂ n

Pourquoi c'est la réponse

Passer de n à 1 par divisions successives par deux prend environ log₂ n niveaux, et chaque niveau effectue un travail de fusion en O(n), d'où O(n log n).

Réponse

D · Environ log₂ n
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · n = o(n²), mais n n'est pas o(n)

Pourquoi c'est la réponse

f = o(g) signifie que f(n) / g(n) tend vers 0 ; n / n² tend vers 0, mais n / n = 1 non.

Réponse

D · n = o(n²), mais n n'est pas o(n)
3.Structures de données

Réponse: A · O(V²)

Pourquoi c'est la réponse

Une matrice d'adjacence stocke V × V entrées, ce qui est efficace pour les graphes denses ; les listes d'adjacence utilisent O(V + E), ce qui est préférable pour les graphes creux.

Réponse

A · O(V²)
4.Structures de données

Réponse: B · O(log n)

Pourquoi c'est la réponse

Après la diminution de la clé, l'élément remonte (sift-up) au plus de la hauteur du tas. Les tas de Fibonacci atteignent un decrease-key en O(1) amorti.

Réponse

B · O(log n)
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 22

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 44 = 2(L + 12) − 2
L = 22

Réponse

L = 22

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: F

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): C: 7
2. C (7): B: 20, E: 9
3. E (9): D: 12, F: 19, G: 10
4. G (10)
5. D (12): F: 13
6. F (13)
7. B (20)

tour 6

F

Réponse

F

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms