Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Environ combien de comparaisons la recherche dichotomique nécessite-t-elle dans le pire cas sur un tableau trié de 1,000,000 d'éléments ?

  1. AEnviron 20
  2. BEnviron 100
  3. CEnviron 1,000
  4. DEnviron 500,000
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Prendre les deux extrémités de chaque arête d'un couplage maximal donne une couverture par sommets. Quelle est la qualité de cette couverture ?

  1. AAu plus log n fois le minimum
  2. BDe qualité inconnue par rapport à l'optimum
  3. CToujours une couverture par sommets minimale
  4. DAu plus deux fois la taille d'une couverture par sommets minimale
3.Structures de donnéesMoyen

Combien de temps prend la recherche d'un mot de longueur L dans un trie à alphabet fixe ?

  1. AO(L), quel que soit le nombre de mots stockés
  2. BO(L × n)
  3. CO(n), où n est le nombre de mots
  4. DO(log n), où n est le nombre de mots
4.Structures de donnéesDifficile

Sans union par rang ni compression de chemin, quel est le coût dans le pire cas d'une seule opération find dans une structure union-find à n éléments ?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(α(n))
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 4 sommets de degré 3, 3 sommets de degré 4, 2 sommets de degré 5, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

4 × deg 33 × deg 42 × deg 5
L =
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDE

Combien de marches fermées de longueur 2 partent de B et y reviennent ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Environ 20

Pourquoi c'est la réponse

220 ≈ 1,048,576 : après environ 20 divisions par deux, il ne reste qu'un élément.

Réponse

A · Environ 20
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Au plus deux fois la taille d'une couverture par sommets minimale

Pourquoi c'est la réponse

Les arêtes du couplage n'ont aucun sommet en commun : l'optimum nécessite donc au moins un sommet par arête, tandis que cette méthode en prend deux, d'où une 2-approximation.

Réponse

D · Au plus deux fois la taille d'une couverture par sommets minimale
3.Structures de données

Réponse: A · O(L), quel que soit le nombre de mots stockés

Pourquoi c'est la réponse

Chaque caractère sélectionne un enfant, donc une recherche prend L étapes quel que soit le nombre de mots contenus dans le trie.

Réponse

A · O(L), quel que soit le nombre de mots stockés
4.Structures de données

Réponse: A · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

Des unions naïves peuvent relier les arbres en une longue chaîne, donc find peut suivre n − 1 pointeurs vers le parent ; les deux heuristiques le rendent presque constant.

Réponse

A · O(n)
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 18

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 34 = 2(L + 9) − 2
L = 18

Réponse

L = 18

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: N = 3

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Voisins communs

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 0·0 + 1·1 = 3

Réponse

N = 3

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