Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Une fonction exécute une boucle de n itérations, puis, séparément, une autre boucle de n itérations. Quelle est sa complexité temporelle ?

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelles sont les deux choses à montrer pour prouver qu'un problème de décision X est NP-complet ?

  1. AX est dans P, et X se réduit à SAT
  2. BX se réduit à un problème de P, et X est dans NP
  3. CX n'a pas d'algorithme polynomial, et X est décidable
  4. DX est dans NP, et un problème NP-complet connu se réduit à X en temps polynomial
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle condition d'équilibre un arbre AVL maintient-il en chaque nœud ?

  1. AToutes les feuilles sont exactement à la même profondeur
  2. BLes deux sous-arbres de chaque nœud contiennent exactement le même nombre de nœuds
  3. CChaque nœud est colorié en rouge ou en noir
  4. DLes hauteurs des sous-arbres gauche et droit diffèrent d'au plus 1
4.Structures de donnéesDifficile

Pourquoi un serveur pourrait-il choisir sa fonction de hachage au hasard dans une famille universelle ?

  1. APour rendre très improbable qu'un attaquant puisse choisir de nombreuses clés qui entrent toutes en collision
  2. BPour garantir que deux clés n'entrent jamais en collision, quelles que soient les clés envoyées par un attaquant
  3. CPour supprimer le besoin de redimensionner la table
  4. DPour que la table de hachage soit triée
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 4 sommets de degré 3, 4 sommets de degré 4, 3 sommets de degré 5, 3 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

4 × deg 34 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
995141227132ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

n + n = 2n, et les facteurs constants sont supprimés : la fonction est donc O(n).

Réponse

A · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · X est dans NP, et un problème NP-complet connu se réduit à X en temps polynomial

Pourquoi c'est la réponse

L'appartenance à NP montre que X n'est pas plus difficile que NP ; la réduction depuis un problème NP-complet connu montre que X est au moins aussi difficile que tout NP.

Réponse

D · X est dans NP, et un problème NP-complet connu se réduit à X en temps polynomial
3.Structures de données

Réponse: D · Les hauteurs des sous-arbres gauche et droit diffèrent d'au plus 1

Pourquoi c'est la réponse

Le facteur d'équilibre (hauteur gauche − hauteur droite) doit valoir −1, 0 ou 1 ; des rotations le rétablissent après les insertions et les suppressions.

Réponse

D · Les hauteurs des sous-arbres gauche et droit diffèrent d'au plus 1
4.Structures de données

Réponse: A · Pour rendre très improbable qu'un attaquant puisse choisir de nombreuses clés qui entrent toutes en collision

Pourquoi c'est la réponse

Avec le hachage universel, le nombre attendu de collisions est faible pour tout ensemble de clés, puisque l'attaquant ne sait pas quelle fonction a été choisie.

Réponse

A · Pour rendre très improbable qu'un attaquant puisse choisir de nombreuses clés qui entrent toutes en collision
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 23

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 49 = 2(L + 14) − 2
L = 23

Réponse

L = 23

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 20

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 9, C: 9
B (9): D: 23, E: 11
C (9)
E (11): D: 13, F: 24
D (13): F: 20
F (20)

Plus court chemin

A → B → E → D → F
d(F) = 20

Réponse

d(F) = 20

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