Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la solution de la récurrence T(n) = 2T(n − 1) + O(1) ?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel est le coût amorti de l'incrémentation d'un compteur binaire, sachant qu'une incrémentation peut inverser de nombreux bits ?

  1. AO(n log n) par incrémentation
  2. BO(n) par incrémentation
  3. CO(1) par incrémentation
  4. DO(log n) par incrémentation
3.Structures de donnéesMoyen

Un nœud d'un arbre binaire de recherche possède un sous-arbre droit. Où se trouve son successeur dans l'ordre infixe ?

  1. AÀ son enfant droit, toujours
  2. BAu nœud le plus à droite de son sous-arbre gauche
  3. CAu nœud le plus à gauche de son sous-arbre droit
  4. DÀ son parent, toujours
4.Structures de donnéesDifficile

Quel est le temps d'exécution d'un parcours en largeur sur un graphe à V sommets stocké sous forme de matrice d'adjacence ?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V²)
  4. DO(V)
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 4 sommets de degré 5, 4 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

4 × deg 54 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
12811571310ABCDEF

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 3 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(2ⁿ)

Pourquoi c'est la réponse

Le nombre d'appels double à chaque niveau et il y a n niveaux : le total est donc environ 2ⁿ, comme pour les tours de Hanoï.

Réponse

D · O(2ⁿ)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(1) par incrémentation

Pourquoi c'est la réponse

Sur n incrémentations, le bit i s'inverse environ n / 2ⁱ fois : le total est inférieur à 2n inversions, soit en moyenne O(1) chacune.

Réponse

C · O(1) par incrémentation
3.Structures de données

Réponse: C · Au nœud le plus à gauche de son sous-arbre droit

Pourquoi c'est la réponse

Toutes les clés plus grandes proches du nœud se trouvent dans son sous-arbre droit, et la plus petite d'entre elles est le nœud le plus à gauche de ce sous-arbre.

Réponse

C · Au nœud le plus à gauche de son sous-arbre droit
4.Structures de données

Réponse: C · O(V²)

Pourquoi c'est la réponse

Chacun des V sommets parcourt une ligne de V cases, ce qui donne O(V²) ; avec des listes d'adjacence, le BFS est en O(V + E).

Réponse

C · O(V²)
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 14

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 28 = 2(L + 8) − 2
L = 14

Réponse

L = 14

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: B

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 12, C: 8
2. C (8): B: 9, E: 23
3. B (9): E: 19
4. E (19): D: 26, F: 22
5. F (22): D: 23
6. D (23)

tour 3

B

Réponse

B

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