Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Vous triez une fois un tableau de n éléments, puis répondez à k requêtes d'appartenance par recherche dichotomique. Quel est le coût total ?

  1. AO(n + k)
  2. BO(n log n + k log n)
  3. CO(nk)
  4. DO(k n log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Que se passerait-il si quelqu'un trouvait un algorithme en temps polynomial pour un problème NP-complet ?

  1. ALe problème de l'arrêt deviendrait décidable
  2. BSeul ce problème passerait dans P
  3. CTous les algorithmes en temps exponentiel s'exécuteraient immédiatement en temps linéaire
  4. DTout problème de NP pourrait être résolu en temps polynomial, donc P = NP
3.Structures de donnéesMoyen

Un réseau routier compte 100,000 carrefours, chacun relié à environ 4 autres. Quelle représentation est la plus adaptée ?

  1. AUne liste d'adjacence
  2. BUne matrice d'adjacence
  3. CUn tas binaire d'arêtes
  4. DUn unique tableau trié de sommets
4.Structures de donnéesDifficile

Un tableau dynamique double de taille lorsqu'il est plein. Pourquoi de nombreuses implémentations ne le réduisent-elles que lorsqu'il est rempli au quart, et non à moitié ?

  1. APour éviter des redimensionnements répétés lorsque des push et des pop alternent près de la limite
  2. BPour garder le tableau trié
  3. CParce que diviser par deux à la moitié ferait perdre des éléments
  4. DParce que l'allocateur de mémoire ne peut libérer la mémoire que par quarts de bloc
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 19 sommets et 20 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 19|E| = 20
k =
6.Théorie des graphesDifficile
131013211421ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(E) du plus court chemin de A à E dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : E
d(E) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n log n + k log n)

Pourquoi c'est la réponse

Le tri coûte O(n log n) et chaque requête O(log n) ; cela bat k parcours linéaires (O(nk)) quand k est grand.

Réponse

B · O(n log n + k log n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Tout problème de NP pourrait être résolu en temps polynomial, donc P = NP

Pourquoi c'est la réponse

Comme tout NP se réduit en temps polynomial à n'importe quel problème NP-complet, un algorithme rapide pour l'un en donne un pour tous.

Réponse

D · Tout problème de NP pourrait être résolu en temps polynomial, donc P = NP
3.Structures de données

Réponse: A · Une liste d'adjacence

Pourquoi c'est la réponse

Une matrice nécessiterait 1010 cases, presque toutes vides ; une liste d'adjacence ne stocke qu'environ 400,000 entrées d'arêtes.

Réponse

A · Une liste d'adjacence
4.Structures de données

Réponse: A · Pour éviter des redimensionnements répétés lorsque des push et des pop alternent près de la limite

Pourquoi c'est la réponse

Réduire à la moitié pourrait déclencher un redimensionnement à chaque opération d'une telle séquence ; l'écart entre 1/4 et plein maintient le coût amorti en O(1).

Réponse

A · Pour éviter des redimensionnements répétés lorsque des push et des pop alternent près de la limite
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 2

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

19 − 1 = 18

Arêtes à retirer

k = 20 − 18 = 2

Réponse

k = 2
6.Théorie des graphes

Réponse: d(E) = 11

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 13, C: 10
C (10): E: 11
E (11): F: 13, B: 12
B (12): D: 14
F (13)
D (14)

Plus court chemin

A → C → E
d(E) = 11

Réponse

d(E) = 11

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