Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle amortie de l'ajout en fin de tableau dynamique qui double sa capacité lorsqu'il est plein ?

  1. AO(n²)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Le tri par insertion s'exécute en O(n) sur une entrée triée. Cela contredit-il la borne inférieure Ω(n log n) des tris par comparaisons ?

  1. ANon, la borne inférieure s'applique au pire cas sur toutes les entrées, pas à chaque entrée
  2. BOui, la borne inférieure est donc fausse
  3. COui, mais seulement pour les tableaux de moins de 100 éléments
  4. DNon, car le tri par insertion n'est pas un tri par comparaisons
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle condition d'équilibre un arbre AVL maintient-il en chaque nœud ?

  1. ALes hauteurs des sous-arbres gauche et droit diffèrent d'au plus 1
  2. BLes deux sous-arbres de chaque nœud contiennent exactement le même nombre de nœuds
  3. CChaque nœud est colorié en rouge ou en noir
  4. DToutes les feuilles sont exactement à la même profondeur
4.Structures de donnéesDifficile

Quels sont les coûts en temps et en espace supplémentaire de l'inversion sur place d'une liste simplement chaînée ?

  1. AO(n log n) en temps et O(1) en espace supplémentaire
  2. BO(n) en temps et O(1) en espace supplémentaire
  3. CO(1) en temps et O(1) en espace supplémentaire
  4. DO(n) en temps et O(n) en espace supplémentaire
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
611581221011813ABCDEFG

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 5 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(1)

Pourquoi c'est la réponse

La copie de tous les éléments n'a lieu qu'aux puissances de deux ; répartie sur tous les ajouts, le coût moyen par ajout est constant.

Réponse

B · O(1)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Non, la borne inférieure s'applique au pire cas sur toutes les entrées, pas à chaque entrée

Pourquoi c'est la réponse

La borne dit que tout tri par comparaisons nécessite environ n log n comparaisons sur une certaine entrée de taille n ; des entrées particulières peuvent être bien plus rapides.

Réponse

A · Non, la borne inférieure s'applique au pire cas sur toutes les entrées, pas à chaque entrée
3.Structures de données

Réponse: A · Les hauteurs des sous-arbres gauche et droit diffèrent d'au plus 1

Pourquoi c'est la réponse

Le facteur d'équilibre (hauteur gauche − hauteur droite) doit valoir −1, 0 ou 1 ; des rotations le rétablissent après les insertions et les suppressions.

Réponse

A · Les hauteurs des sous-arbres gauche et droit diffèrent d'au plus 1
4.Structures de données

Réponse: B · O(n) en temps et O(1) en espace supplémentaire

Pourquoi c'est la réponse

Trois pointeurs (précédent, courant, suivant) permettent d'inverser chaque lien en un seul passage sans allouer de nouveaux nœuds.

Réponse

B · O(n) en temps et O(1) en espace supplémentaire
5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Sommets impairs

0
Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien
6.Théorie des graphes

Réponse: G

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 6
2. B (6): C: 7, D: 21, G: 16
3. C (7): E: 15
4. E (15): F: 17
5. G (16)
6. F (17)
7. D (21)

tour 5

G

Réponse

G

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