Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La programmation dynamique est utile lorsqu'un problème présente :

  1. AAucun sous-problème, de sorte qu'il peut être résolu en une seule étape
  2. BDes sous-problèmes qui se chevauchent et une sous-structure optimale
  3. CUniquement des entrées aléatoires
  4. DUne seule boucle
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Le problème du sac à dos 0/1 résolu par programmation dynamique prend un temps O(nW). Pourquoi dit-on qu'il est pseudo-polynomial ?

  1. AParce que n est toujours petit
  2. BParce que l'algorithme est probabiliste et que son temps d'exécution varie à chaque entrée
  3. CW est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W
  4. DParce qu'il ne fonctionne que pour W = 0
3.Structures de donnéesMoyen

Dans une table de hachage à adressage ouvert, quel est le facteur de charge maximal possible ?

  1. A0,5
  2. B2
  3. C1
  4. DIl n'y a pas de maximum
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle structure de données permet un cache LRU (least recently used) avec get et put en O(1) ?

  1. AUniquement un arbre binaire de recherche
  2. BUniquement une pile
  3. CUn unique tableau trié
  4. DUne table de hachage combinée à une liste doublement chaînée
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K7 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K7
H =
6.Théorie des graphesDifficile
71213171209418ABCDEFG

L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 4 ; les arêtes sautées ne comptent pas.

k = 4
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DF
  7. 7arête EF
  8. 8arête GB
  9. 9arête GD

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Des sous-problèmes qui se chevauchent et une sous-structure optimale

Pourquoi c'est la réponse

Mémoriser les résultats des sous-problèmes qui se chevauchent (mémoïsation ou tabulation) évite le travail répété et transforme des algorithmes exponentiels en algorithmes polynomiaux.

Réponse

B · Des sous-problèmes qui se chevauchent et une sous-structure optimale
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · W est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W

Pourquoi c'est la réponse

Le temps d'exécution est polynomial en la valeur de W mais exponentiel en sa longueur (log W bits) ; le sac à dos 0/1 est NP-complet.

Réponse

C · W est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W
3.Structures de données

Réponse: C · 1

Pourquoi c'est la réponse

Avec l'adressage ouvert, toutes les clés sont stockées dans la table elle-même, donc n ne peut pas dépasser m ; le chaînage séparé peut avoir un facteur de charge supérieur à 1.

Réponse

C · 1
4.Structures de données

Réponse: D · Une table de hachage combinée à une liste doublement chaînée

Pourquoi c'est la réponse

La table de hachage trouve les nœuds en O(1) et la liste doublement chaînée déplace les éléments consultés vers l'avant et évince par l'arrière en O(1).

Réponse

D · Une table de hachage combinée à une liste doublement chaînée
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 360

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Réponse

H = 360
6.Théorie des graphes

Réponse: arête EF

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

1. CE (1)
2. GB (4)
3. AB (7)
4. EF (9)
5. AC (12)
6. BD (17)

numéro de l’arête 4

EF

Réponse

arête EF

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