Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la solution de la récurrence T(n) = 2T(n − 1) + O(1) ?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle affirmation concernant P et NP est correcte ?

  1. ATout problème de P appartient aussi à NP
  2. BNP signifie « non polynomial »
  3. CLes solutions des problèmes NP ne peuvent pas être vérifiées rapidement
  4. DIl a été démontré que P ≠ NP
3.Structures de donnéesMoyen

Un tampon circulaire (ring buffer) est couramment utilisé pour implémenter :

  1. AUne file de taille fixe
  2. BUn arbre binaire de recherche
  3. CUne fonction de hachage
  4. DUn parcours de graphe
4.Structures de donnéesDifficile

Dans l'algorithme de Kruskal pour l'arbre couvrant de poids minimal, à quoi sert la structure union-find ?

  1. AÀ vérifier si les deux extrémités d'une arête sont déjà reliées
  2. BÀ trier les arêtes par poids
  3. CÀ choisir le sommet de départ
  4. DÀ stocker la distance actuelle de chaque sommet depuis la source pendant le parcours
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 3 sommets de degré 3, 2 sommets de degré 5, 2 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

3 × deg 32 × deg 52 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
13157121881719ABCDEFG

L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 6 ; les arêtes sautées ne comptent pas.

k = 6
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête CE
  5. 5arête DE
  6. 6arête DF
  7. 7arête GB
  8. 8arête GD
  9. 9arête GE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(2ⁿ)

Pourquoi c'est la réponse

Le nombre d'appels double à chaque niveau et il y a n niveaux : le total est donc environ 2ⁿ, comme pour les tours de Hanoï.

Réponse

A · O(2ⁿ)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Tout problème de P appartient aussi à NP

Pourquoi c'est la réponse

P ⊆ NP : si vous pouvez résoudre un problème rapidement, vous pouvez vérifier une solution rapidement. La question P = NP reste ouverte.

Réponse

A · Tout problème de P appartient aussi à NP
3.Structures de données

Réponse: A · Une file de taille fixe

Pourquoi c'est la réponse

Un tampon circulaire utilise des indices de tête et de queue qui reviennent au début, ce qui permet enqueue et dequeue en O(1) dans une mémoire fixe.

Réponse

A · Une file de taille fixe
4.Structures de données

Réponse: A · À vérifier si les deux extrémités d'une arête sont déjà reliées

Pourquoi c'est la réponse

Find indique si les deux extrémités sont dans la même composante ; sinon, l'arête est ajoutée et union fusionne les composantes.

Réponse

A · À vérifier si les deux extrémités d'une arête sont déjà reliées
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 11

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 23 = 2(L + 7) − 2
L = 11

Réponse

L = 11

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: arête DF

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

1. AB (1)
2. AC (3)
3. CE (7)
4. GB (8)
5. DE (12)
6. DF (18)

numéro de l’arête 6

DF

Réponse

arête DF

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