Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Combien de niveaux comporte la récursion du tri fusion pour un tableau de n éléments ?

  1. AEnviron √n
  2. BEnviron log₂ n
  3. CEnviron n
  4. DEnviron n / 2
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Comment l'algorithme de Bellman-Ford détecte-t-il un cycle de poids négatif accessible depuis la source ?

  1. AAprès V − 1 tours, il vérifie si une arête peut encore être relâchée
  2. BIl exécute deux fois l'algorithme de Dijkstra et compare les deux résultats de distances
  3. CIl compte les cycles par un parcours en profondeur
  4. DIl vérifie si une arête a un poids négatif
3.Structures de donnéesMoyen

Dans une file circulaire stockée dans un tableau de capacité n, comment calcule-t-on la position suivant l'indice i ?

  1. A(i − 1) mod n
  2. B2i + 1
  3. C(i + 1) mod n
  4. Di + 1
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle structure permet de calculer le maximum de chaque fenêtre de taille k dans un tableau en O(n) au total ?

  1. AUn deque contenant des indices par ordre décroissant de valeur
  2. BUn tableau trié mis à jour par décalage
  3. CUne liste simplement chaînée des éléments de la fenêtre
  4. DUn tas min reconstruit pour chaque fenêtre
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K5 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K5
H =
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDEF

Combien de marches fermées de longueur 3 partent de C et y reviennent ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 3
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Environ log₂ n

Pourquoi c'est la réponse

Passer de n à 1 par divisions successives par deux prend environ log₂ n niveaux, et chaque niveau effectue un travail de fusion en O(n), d'où O(n log n).

Réponse

B · Environ log₂ n
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Après V − 1 tours, il vérifie si une arête peut encore être relâchée

Pourquoi c'est la réponse

Toutes les vraies distances minimales sont trouvées en V − 1 tours ; si une arête peut encore être améliorée, un cycle négatif existe forcément.

Réponse

A · Après V − 1 tours, il vérifie si une arête peut encore être relâchée
3.Structures de données

Réponse: C · (i + 1) mod n

Pourquoi c'est la réponse

L'opération modulo ramène l'indice n − 1 à 0, ce qui permet de réutiliser le tableau sans décaler les éléments.

Réponse

C · (i + 1) mod n
4.Structures de données

Réponse: A · Un deque contenant des indices par ordre décroissant de valeur

Pourquoi c'est la réponse

L'avant du deque est toujours le maximum de la fenêtre ; chaque indice entre et sort du deque une seule fois, donc le travail est linéaire.

Réponse

A · Un deque contenant des indices par ordre décroissant de valeur
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 12

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Réponse

H = 12
6.Théorie des graphes

Réponse: N = 2

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Un pas de plus

(M³)CC = 1·1 + 1·1 + 3·0 + 1·0 + 0·1 + 1·0 = 2

Réponse

N = 2

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