Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Comment l'algorithme de Prim construit-il un arbre couvrant de poids minimal ?

  1. AIl trie toutes les arêtes par poids et ajoute chacune d'elles sauf si elle formait un cycle dans la forêt
  2. BIl exécute un parcours en largeur et conserve l'arbre du BFS
  3. CIl fait croître un seul arbre à partir d'un sommet de départ, en ajoutant l'arête la moins chère qui sort de l'arbre
  4. DIl supprime l'arête la plus chère jusqu'à ce qu'il ne reste plus de cycle
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Un problème est NP-complet s'il :

  1. AEst impossible à résoudre
  2. BEst hors de NP mais plus difficile que tous les problèmes NP, comme le problème de l'arrêt
  3. CAppartient à NP et si tout problème NP se réduit à lui en temps polynomial
  4. DEst résoluble en temps polynomial
3.Structures de donnéesMoyen

Un arbre binaire a pour racine 1, avec 2 comme enfant gauche et 3 comme enfant droit ; le nœud 2 a pour enfants 4 (gauche) et 5 (droit). Quel est le parcours postfixe ?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C4 2 5 1 3
  4. D5 4 3 2 1
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle paire de parcours détermine toujours un arbre binaire unique à clés distinctes ?

  1. APar niveaux seul
  2. BPréfixe et postfixe
  3. CPréfixe et infixe
  4. DPréfixe seul
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 20 sommets et 29 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 20|E| = 29
k =
6.Théorie des graphesDifficile
1054182127ABCDE

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Il fait croître un seul arbre à partir d'un sommet de départ, en ajoutant l'arête la moins chère qui sort de l'arbre

Pourquoi c'est la réponse

L'algorithme de Prim, avec une file de priorité des arêtes sortantes, s'exécute en O(E log V) avec un tas binaire.

Réponse

C · Il fait croître un seul arbre à partir d'un sommet de départ, en ajoutant l'arête la moins chère qui sort de l'arbre
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Appartient à NP et si tout problème NP se réduit à lui en temps polynomial

Pourquoi c'est la réponse

Les problèmes NP-complets sont les plus difficiles de NP ; un algorithme polynomial pour l'un d'eux en donnerait un pour tout NP.

Réponse

C · Appartient à NP et si tout problème NP se réduit à lui en temps polynomial
3.Structures de données

Réponse: B · 4 5 2 3 1

Pourquoi c'est la réponse

Le parcours postfixe traite 4 et 5 avant 2, puis 3, et enfin la racine 1.

Réponse

B · 4 5 2 3 1
4.Structures de données

Réponse: C · Préfixe et infixe

Pourquoi c'est la réponse

Le parcours préfixe donne la racine, et sa position dans la séquence infixe sépare les sous-arbres gauche et droit ; préfixe et postfixe sont ambigus lorsqu'un nœud a un seul enfant.

Réponse

C · Préfixe et infixe
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 10

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

20 − 1 = 19

Arêtes à retirer

k = 29 − 19 = 10

Réponse

k = 10
6.Théorie des graphes

Réponse: W = 23

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

CE (2): prise
BC (4): prise
AC (5): prise
BE (7): sautée, ferme un cycle
AB (10): sautée, ferme un cycle
DE (12): prise

Poids total

W = 2 + 4 + 5 + 12 = 23

Réponse

W = 23

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