Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Que signifie qu'un problème possède une sous-structure optimale ?

  1. ATous les sous-problèmes ont la même taille
  2. BLe problème peut être résolu en temps constant
  3. CLe problème a exactement une solution optimale, que partagent tous les sous-problèmes
  4. DUne solution optimale peut être construite à partir de solutions optimales de ses sous-problèmes
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Comment se comparent n! et 2ⁿ pour n grand ?

  1. AIls croissent au même rythme
  2. Bn! est O(n²)
  3. Cn! croît plus vite que 2ⁿ
  4. D2ⁿ croît plus vite que n!
3.Structures de donnéesMoyen

Dans une table de hachage à adressage ouvert, quel est le facteur de charge maximal possible ?

  1. AIl n'y a pas de maximum
  2. B1
  3. C0,5
  4. D2
4.Structures de donnéesDifficile

Un filtre de Bloom peut répondre à la question « cet élément appartient-il à l'ensemble ? » avec :

  1. ADes réponses uniquement pour des nombres
  2. BDes réponses toujours exactes
  3. CDes faux positifs possibles mais aucun faux négatif
  4. DDes faux négatifs possibles mais aucun faux positif
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 15 sommets et 26 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 15|E| = 26
k =
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDE

Combien de marches fermées de longueur 3 partent de A et y reviennent ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 3
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Une solution optimale peut être construite à partir de solutions optimales de ses sous-problèmes

Pourquoi c'est la réponse

La sous-structure optimale est nécessaire pour que les algorithmes gloutons comme la programmation dynamique produisent des réponses correctes.

Réponse

D · Une solution optimale peut être construite à partir de solutions optimales de ses sous-problèmes
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · n! croît plus vite que 2ⁿ

Pourquoi c'est la réponse

Pour n ≥ 4, n! dépasse 2ⁿ, et le rapport croît sans borne car chaque facteur supplémentaire de n! est supérieur à 2.

Réponse

C · n! croît plus vite que 2ⁿ
3.Structures de données

Réponse: B · 1

Pourquoi c'est la réponse

Avec l'adressage ouvert, toutes les clés sont stockées dans la table elle-même, donc n ne peut pas dépasser m ; le chaînage séparé peut avoir un facteur de charge supérieur à 1.

Réponse

B · 1
4.Structures de données

Réponse: C · Des faux positifs possibles mais aucun faux négatif

Pourquoi c'est la réponse

Si l'un des bits d'un élément vaut 0, il est assurément absent ; si tous valent 1, il est probablement présent. Les filtres de Bloom sacrifient la précision au profit d'une très faible consommation de mémoire.

Réponse

C · Des faux positifs possibles mais aucun faux négatif
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 12

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

15 − 1 = 14

Arêtes à retirer

k = 26 − 14 = 12

Réponse

k = 12
6.Théorie des graphes

Réponse: N = 2

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Un pas de plus

(M³)AA = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 1·0 + 2·0 = 2

Réponse

N = 2

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