Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La complexité temporelle de la version récursive naïve de Fibonacci (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) est :

  1. AConstante
  2. BExponentielle
  3. CLogarithmique
  4. DLinéaire
2.Algorithmes et complexitéDifficile

D'après le théorème maître, T(n) = 8T(n/2) + O(n²) a pour solution :

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n² log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n³)
3.Structures de donnéesMoyen

Qu'est-ce qui est vrai de la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté ?

  1. AElle est symétrique par rapport à la diagonale principale
  2. BChaque ligne contient exactement un 1
  3. CSa diagonale principale contient toujours des 1
  4. DElle est toujours triangulaire supérieure
4.Structures de donnéesDifficile

Les clés 5, 3, 8, 1 sont insérées dans cet ordre dans un tas binaire min vide stocké dans un tableau. Quel est le tableau final ?

  1. A[1, 3, 5, 8]
  2. B[1, 3, 8, 5]
  3. C[3, 1, 8, 5]
  4. D[1, 5, 8, 3]
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFGCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 7|E| = 11
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
20581812731014ABCDEFG

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Exponentielle

Pourquoi c'est la réponse

L'arbre des appels croît à peu près comme φⁿ (environ 1,618ⁿ). La mémoïsation la réduit à O(n).

Réponse

B · Exponentielle
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Θ(n³)

Pourquoi c'est la réponse

log₂ 8 = 3, et n² croît plus lentement que n³, donc les feuilles dominent : Θ(n³).

Réponse

D · Θ(n³)
3.Structures de données

Réponse: A · Elle est symétrique par rapport à la diagonale principale

Pourquoi c'est la réponse

Dans un graphe non orienté, l'arête {u, v} signifie que M[u][v] et M[v][u] sont tous deux renseignés, donc la matrice est égale à sa transposée.

Réponse

A · Elle est symétrique par rapport à la diagonale principale
4.Structures de données

Réponse: B · [1, 3, 8, 5]

Pourquoi c'est la réponse

Après 5, 3, 8, le tableau est [3, 5, 8] ; 1 va à l'indice 3, s'échange avec son parent 5 puis avec 3, ce qui donne [1, 3, 8, 5].

Réponse

B · [1, 3, 8, 5]
5.Théorie des graphes

Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Sommets impairs

A, B → 2
Chemin eulérien, pas de circuit

Réponse

Chemin eulérien, pas de circuit

Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.

6.Théorie des graphes

Réponse: W = 55

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

GB (3): prise
BC (5): prise
EF (7): prise
BD (8): prise
GD (10): sautée, ferme un cycle
DE (12): prise
GE (14): sautée, ferme un cycle
CE (18): sautée, ferme un cycle
AB (20): prise

Poids total

W = 3 + 5 + 7 + 8 + 12 + 20 = 55

Réponse

W = 55

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