Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel algorithme de tri est stable ?

  1. ATri rapide (version en place habituelle)
  2. BTri par tas
  3. CTri fusion
  4. DTri par sélection (version habituelle)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle borne est correcte pour log(n!) ?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(log n)
  4. DΘ(n log n)
3.Structures de donnéesMoyen

Une file est implémentée avec deux piles : on empile sur une pile « in » et on dépile depuis une pile « out », remplie à partir de « in » lorsqu'elle est vide. Quel est le coût amorti par opération ?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
4.Structures de donnéesDifficile

Dans le BST de racine 50, avec le sous-arbre gauche 30 (enfants 20, 40) et le sous-arbre droit 70 (enfants 60, 80), on supprime la racine en utilisant le successeur infixe. Quelle clé devient la nouvelle racine ?

  1. A60
  2. B70
  3. C80
  4. D40
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 3 sommets de degré 3, 3 sommets de degré 5, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

3 × deg 33 × deg 5
L =
6.Théorie des graphesDifficile
127822151141ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Tri fusion

Pourquoi c'est la réponse

Le tri fusion est stable si, en cas d'égalité, la fusion prend d'abord dans la moitié gauche. Le tri rapide en place, le tri par tas et le tri par sélection ne sont généralement pas stables.

Réponse

C · Tri fusion
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Θ(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

log(n!) ≤ n log n, et les n / 2 plus grands facteurs donnent log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2) ; c'est pourquoi le tri par comparaisons nécessite Ω(n log n).

Réponse

D · Θ(n log n)
3.Structures de données

Réponse: C · O(1)

Pourquoi c'est la réponse

Chaque élément est empilé et dépilé au plus deux fois au total ; même si un remplissage peut coûter O(n), la moyenne sur une suite d'opérations est O(1).

Réponse

C · O(1)
4.Structures de données

Réponse: A · 60

Pourquoi c'est la réponse

Le nœud le plus à gauche du sous-arbre droit est 60 ; 60 remplace donc 50 et son ancienne position est supprimée. Utiliser le prédécesseur donnerait 40.

Réponse

A · 60
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 14

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 24 = 2(L + 6) − 2
L = 14

Réponse

L = 14

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 13

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 12, C: 7
C (7): E: 9
E (9): D: 24, F: 13, B: 10
B (10): D: 12
D (12)
F (13)

Plus court chemin

A → C → E → F
d(F) = 13

Réponse

d(F) = 13

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