Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Que calcule l'algorithme de Floyd-Warshall, et en combien de temps ?

  1. ALes plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)
  2. BUn arbre couvrant de poids minimal en O(E log V)
  3. CUn ordre topologique en O(V²)
  4. DLes plus courts chemins depuis un sommet source vers tous les autres en O(V + E)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel énoncé sur la sélection du k-ième plus petit élément d'un tableau non trié est correct ?

  1. AQuickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas
  2. BLa sélection n'est possible qu'en O(n²)
  3. CLa sélection exige toujours Ω(n log n) car elle nécessite un tri
  4. DQuickselect s'exécute en O(log n) dans le pire cas, car il ne récurse que d'un seul côté du pivot
3.Structures de donnéesMoyen

Un arbre binaire a pour racine 1, avec 2 comme enfant gauche et 3 comme enfant droit ; le nœud 2 a pour enfants 4 (gauche) et 5 (droit). Quel est le parcours préfixe ?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B1 2 3 4 5
  3. C4 5 2 3 1
  4. D4 2 5 1 3
4.Structures de donnéesDifficile

L'algorithme de Kahn pour le tri topologique retire répétitivement les sommets de degré entrant 0. Quelle structure contient ces sommets ?

  1. AUne pile de toutes les arêtes visitées
  2. BUne file (ou toute collection) des sommets de degré entrant 0
  3. CUne matrice d'adjacence indiquant quels sommets ont déjà été retirés
  4. DUn tas max ordonné par degré sortant
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K4 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K4
H =
6.Théorie des graphesDifficile
6959111391312ABCDEFG

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Les plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)

Pourquoi c'est la réponse

Floyd-Warshall est un algorithme de programmation dynamique qui autorise tour à tour chaque sommet comme point intermédiaire, en temps O(V³).

Réponse

A · Les plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Quickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas

Pourquoi c'est la réponse

Le travail espéré de quickselect vaut n + n/2 + n/4 + ... = O(n) avec des pivots aléatoires ; choisir le pivot comme médiane des médianes rend le pire cas linéaire.

Réponse

A · Quickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas
3.Structures de données

Réponse: A · 1 2 4 5 3

Pourquoi c'est la réponse

Le parcours préfixe visite 1, puis son sous-arbre gauche (2, 4, 5), puis 3 ; les autres options sont les parcours infixe, postfixe et par niveaux.

Réponse

A · 1 2 4 5 3
4.Structures de données

Réponse: B · Une file (ou toute collection) des sommets de degré entrant 0

Pourquoi c'est la réponse

Les sommets prêts sont conservés dans une file ; en retirer un diminue le degré entrant de ses voisins, et ceux qui atteignent 0 sont ajoutés, ce qui donne un temps en O(V + E).

Réponse

B · Une file (ou toute collection) des sommets de degré entrant 0
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 3

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Réponse

H = 3
6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 28

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): C: 6
C (6): B: 15, E: 15, G: 19
B (15): D: 20
E (15): F: 28
G (19)
D (20)
F (28)

Plus court chemin

A → C → E → F
d(F) = 28

Réponse

d(F) = 28

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