Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Environ combien de comparaisons la recherche dichotomique nécessite-t-elle dans le pire cas sur un tableau trié de 1,000,000 d'éléments ?

  1. AEnviron 20
  2. BEnviron 100
  3. CEnviron 500,000
  4. DEnviron 1,000
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Que se passerait-il si quelqu'un trouvait un algorithme en temps polynomial pour un problème NP-complet ?

  1. ATout problème de NP pourrait être résolu en temps polynomial, donc P = NP
  2. BTous les algorithmes en temps exponentiel s'exécuteraient immédiatement en temps linéaire
  3. CSeul ce problème passerait dans P
  4. DLe problème de l'arrêt deviendrait décidable
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle quantité de mémoire une liste d'adjacence utilise-t-elle pour un graphe à V sommets et E arêtes ?

  1. AO(E²)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V²)
  4. DO(V + E)
4.Structures de donnéesDifficile

Un arbre de segments (segment tree) est généralement utilisé pour :

  1. ARépondre à des requêtes sur intervalles (comme des sommes d'intervalles) et à des mises à jour en O(log n)
  2. BImplémenter une pile
  3. CTrier des chaînes par ordre alphabétique en stockant chaque préfixe dans un nœud distinct de l'arbre
  4. DStocker les arêtes d'un graphe
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 12 sommets et 19 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 12|E| = 19
k =
6.Théorie des graphesDifficile
11143141310143ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Environ 20

Pourquoi c'est la réponse

220 ≈ 1,048,576 : après environ 20 divisions par deux, il ne reste qu'un élément.

Réponse

A · Environ 20
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Tout problème de NP pourrait être résolu en temps polynomial, donc P = NP

Pourquoi c'est la réponse

Comme tout NP se réduit en temps polynomial à n'importe quel problème NP-complet, un algorithme rapide pour l'un en donne un pour tous.

Réponse

A · Tout problème de NP pourrait être résolu en temps polynomial, donc P = NP
3.Structures de données

Réponse: D · O(V + E)

Pourquoi c'est la réponse

Chaque sommet a une liste et chaque arête apparaît une fois (orienté) ou deux fois (non orienté), ce qui donne O(V + E).

Réponse

D · O(V + E)
4.Structures de données

Réponse: A · Répondre à des requêtes sur intervalles (comme des sommes d'intervalles) et à des mises à jour en O(log n)

Pourquoi c'est la réponse

Un arbre de segments stocke des agrégats pour des intervalles et permet des requêtes sur intervalles et des mises à jour ponctuelles en temps O(log n).

Réponse

A · Répondre à des requêtes sur intervalles (comme des sommes d'intervalles) et à des mises à jour en O(log n)
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 8

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

12 − 1 = 11

Arêtes à retirer

k = 19 − 11 = 8

Réponse

k = 8
6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 30

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 11, C: 14
B (11): D: 25
C (14): E: 27
D (25): F: 39
E (27): F: 30
F (30)

Plus court chemin

A → C → E → F
d(F) = 30

Réponse

d(F) = 30

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