Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la solution de la récurrence T(n) = 2T(n − 1) + O(1) ?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle affirmation concernant P et NP est correcte ?

  1. AIl a été démontré que P ≠ NP
  2. BLes solutions des problèmes NP ne peuvent pas être vérifiées rapidement
  3. CTout problème de P appartient aussi à NP
  4. DNP signifie « non polynomial »
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle est la complexité temporelle de la recherche d'une clé dans un arbre binaire de recherche équilibré ?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(1)
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle affirmation sur le tri par tas (heapsort) est correcte ?

  1. AIl trie sur place en O(n log n) dans le pire cas, mais n'est pas stable
  2. BIl s'exécute en O(n) sur toute entrée
  3. CIl nécessite un arbre binaire de recherche comme stockage supplémentaire, donc il utilise O(n) de mémoire en plus
  4. DIl est stable et nécessite O(n) mémoire supplémentaire
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFGCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
10171619723ABCDE

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet D. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 3.

départ : Dk = 3
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DE
  7. 7arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(2ⁿ)

Pourquoi c'est la réponse

Le nombre d'appels double à chaque niveau et il y a n niveaux : le total est donc environ 2ⁿ, comme pour les tours de Hanoï.

Réponse

D · O(2ⁿ)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Tout problème de P appartient aussi à NP

Pourquoi c'est la réponse

P ⊆ NP : si vous pouvez résoudre un problème rapidement, vous pouvez vérifier une solution rapidement. La question P = NP reste ouverte.

Réponse

C · Tout problème de P appartient aussi à NP
3.Structures de données

Réponse: B · O(log n)

Pourquoi c'est la réponse

Un arbre équilibré a une hauteur d'environ log₂ n, donc une recherche suit un seul chemin de la racine à une feuille.

Réponse

B · O(log n)
4.Structures de données

Réponse: A · Il trie sur place en O(n log n) dans le pire cas, mais n'est pas stable

Pourquoi c'est la réponse

Le tri par tas construit un tas max et extrait le maximum n fois dans le même tableau ; des échanges sur de longues distances peuvent réordonner des clés égales.

Réponse

A · Il trie sur place en O(n log n) dans le pire cas, mais n'est pas stable
5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 4

Sommets impairs

A, B, D, F → 4
ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphes

Réponse: arête CE

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. DE (2)
2. BE (3)
3. CE (7)
4. AB (10)

numéro de l’arête 3

CE

Réponse

arête CE

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