Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la solution de la récurrence T(n) = T(n − 1) + O(1) ?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel énoncé sur la sélection du k-ième plus petit élément d'un tableau non trié est correct ?

  1. ALa sélection n'est possible qu'en O(n²)
  2. BLa sélection exige toujours Ω(n log n) car elle nécessite un tri
  3. CQuickselect s'exécute en O(log n) dans le pire cas, car il ne récurse que d'un seul côté du pivot
  4. DQuickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle quantité de mémoire une liste d'adjacence utilise-t-elle pour un graphe à V sommets et E arêtes ?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E²)
  3. CO(V²)
  4. DO(V × E)
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle affirmation sur le tri par tas (heapsort) est correcte ?

  1. AIl est stable et nécessite O(n) mémoire supplémentaire
  2. BIl nécessite un arbre binaire de recherche comme stockage supplémentaire, donc il utilise O(n) de mémoire en plus
  3. CIl s'exécute en O(n) sur toute entrée
  4. DIl trie sur place en O(n log n) dans le pire cas, mais n'est pas stable
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 20 sommets et 30 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 20|E| = 30
k =
6.Théorie des graphesDifficile
64111226151313ABCDEFG

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 4 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

Il y a n niveaux avec un travail constant chacun, comme pour la somme récursive d'un tableau.

Réponse

D · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Quickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas

Pourquoi c'est la réponse

Le travail espéré de quickselect vaut n + n/2 + n/4 + ... = O(n) avec des pivots aléatoires ; choisir le pivot comme médiane des médianes rend le pire cas linéaire.

Réponse

D · Quickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas
3.Structures de données

Réponse: A · O(V + E)

Pourquoi c'est la réponse

Chaque sommet a une liste et chaque arête apparaît une fois (orienté) ou deux fois (non orienté), ce qui donne O(V + E).

Réponse

A · O(V + E)
4.Structures de données

Réponse: D · Il trie sur place en O(n log n) dans le pire cas, mais n'est pas stable

Pourquoi c'est la réponse

Le tri par tas construit un tas max et extrait le maximum n fois dans le même tableau ; des échanges sur de longues distances peuvent réordonner des clés égales.

Réponse

D · Il trie sur place en O(n log n) dans le pire cas, mais n'est pas stable
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 11

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

20 − 1 = 19

Arêtes à retirer

k = 30 − 19 = 11

Réponse

k = 11
6.Théorie des graphes

Réponse: G

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 6, C: 4
2. C (4): E: 16, G: 9
3. B (6)
4. G (9): D: 22
5. E (16): D: 18, F: 17
6. F (17)
7. D (18)

tour 4

G

Réponse

G

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