Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Pourquoi omet-on généralement la base du logarithme dans la notation grand O, comme dans O(log n) ?

  1. ALes logarithmes sont toujours arrondis à l'entier
  2. BLa base n'a d'importance que pour n petit
  3. CDes logarithmes de bases différentes ne diffèrent que d'un facteur constant
  4. DTous les logarithmes en informatique sont en base 10, elle est donc implicite
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel algorithme trouve un arbre couvrant de poids minimal en ajoutant de façon répétée l'arête la moins coûteuse qui ne forme pas de cycle ?

  1. AL'algorithme de Prim à partir d'un seul nœud
  2. BL'algorithme de Kruskal
  3. CL'algorithme de Dijkstra
  4. DFloyd-Warshall
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle quantité de mémoire une matrice d'adjacence utilise-t-elle pour un graphe à V sommets ?

  1. AO(E)
  2. BO(log V)
  3. CO(V²)
  4. DO(V + E)
4.Structures de donnéesDifficile

La suppression d'un nœud ayant deux enfants dans un arbre binaire de recherche se fait généralement en :

  1. ASupprimant tout le sous-arbre
  2. BLe remplaçant par son successeur infixe (ou prédécesseur) puis en supprimant ce nœud
  3. CReconstruisant de zéro le sous-arbre situé en dessous et en réinsérant toutes les clés qu'il contenait
  4. DL'échangeant avec la racine
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 19 sommets et 20 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 19|E| = 20
k =
6.Théorie des graphesDifficile
1441322181015ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Des logarithmes de bases différentes ne diffèrent que d'un facteur constant

Pourquoi c'est la réponse

Changer de base multiplie le logarithme par une constante, et le grand O ignore les facteurs constants.

Réponse

C · Des logarithmes de bases différentes ne diffèrent que d'un facteur constant
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · L'algorithme de Kruskal

Pourquoi c'est la réponse

Kruskal trie les arêtes par poids et les ajoute si elles relient des composantes différentes ; Prim fait croître un seul arbre à partir d'un sommet de départ.

Réponse

B · L'algorithme de Kruskal
3.Structures de données

Réponse: C · O(V²)

Pourquoi c'est la réponse

Une matrice d'adjacence stocke V × V entrées, ce qui est efficace pour les graphes denses ; les listes d'adjacence utilisent O(V + E), ce qui est préférable pour les graphes creux.

Réponse

C · O(V²)
4.Structures de données

Réponse: B · Le remplaçant par son successeur infixe (ou prédécesseur) puis en supprimant ce nœud

Pourquoi c'est la réponse

Le successeur infixe a au plus un enfant, il peut donc être facilement supprimé après avoir copié sa clé dans le nœud à supprimer.

Réponse

B · Le remplaçant par son successeur infixe (ou prédécesseur) puis en supprimant ce nœud
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 2

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

19 − 1 = 18

Arêtes à retirer

k = 20 − 18 = 2

Réponse

k = 2
6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 15

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 14, C: 4
C (4): E: 6
E (6): D: 7, F: 16
D (7): B: 9, F: 15
B (9)
F (15)

Plus court chemin

A → C → E → D → F
d(F) = 15

Réponse

d(F) = 15

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