Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle de : pour i = 1 à n : (j = 1 ; tant que j < n : j = j × 2) ?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Comment l'algorithme de Bellman-Ford détecte-t-il un cycle de poids négatif accessible depuis la source ?

  1. AIl exécute deux fois l'algorithme de Dijkstra et compare les deux résultats de distances
  2. BIl compte les cycles par un parcours en profondeur
  3. CIl vérifie si une arête a un poids négatif
  4. DAprès V − 1 tours, il vérifie si une arête peut encore être relâchée
3.Structures de donnéesMoyen

Dans une table de hachage à adressage ouvert, quel est le facteur de charge maximal possible ?

  1. A1
  2. B0,5
  3. CIl n'y a pas de maximum
  4. D2
4.Structures de donnéesDifficile

Quel problème du sondage linéaire le double hachage réduit-il principalement ?

  1. ALe regroupement primaire (primary clustering), où se forment de longues suites de cases occupées
  2. BLe besoin d'une fonction de hachage
  3. CLe coût en O(n) de la lecture de la valeur d'une clé
  4. DLe besoin de stocker les clés dans la table
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 4 sommets de degré 3, 2 sommets de degré 4, 2 sommets de degré 5, 2 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

4 × deg 32 × deg 42 × deg 52 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
139425111012ABCDEF

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 3 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

La boucle intérieure s'exécute environ log₂ n fois pour chacune des n itérations extérieures, soit O(n log n).

Réponse

D · O(n log n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Après V − 1 tours, il vérifie si une arête peut encore être relâchée

Pourquoi c'est la réponse

Toutes les vraies distances minimales sont trouvées en V − 1 tours ; si une arête peut encore être améliorée, un cycle négatif existe forcément.

Réponse

D · Après V − 1 tours, il vérifie si une arête peut encore être relâchée
3.Structures de données

Réponse: A · 1

Pourquoi c'est la réponse

Avec l'adressage ouvert, toutes les clés sont stockées dans la table elle-même, donc n ne peut pas dépasser m ; le chaînage séparé peut avoir un facteur de charge supérieur à 1.

Réponse

A · 1
4.Structures de données

Réponse: A · Le regroupement primaire (primary clustering), où se forment de longues suites de cases occupées

Pourquoi c'est la réponse

Le sondage linéaire avance d'un pas de 1, donc les suites occupées grossissent et fusionnent ; le double hachage utilise un second hachage pour la taille du pas, si bien que des clés différentes sondent des séquences différentes.

Réponse

A · Le regroupement primaire (primary clustering), où se forment de longues suites de cases occupées
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 16

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 34 = 2(L + 10) − 2
L = 16

Réponse

L = 16

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: E

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 13, C: 9
2. C (9): E: 11
3. E (11): D: 16, F: 21
4. B (13)
5. D (16)
6. F (21)

tour 3

E

Réponse

E

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