Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La programmation dynamique est utile lorsqu'un problème présente :

  1. AUniquement des entrées aléatoires
  2. BDes sous-problèmes qui se chevauchent et une sous-structure optimale
  3. CUne seule boucle
  4. DAucun sous-problème, de sorte qu'il peut être résolu en une seule étape
2.Algorithmes et complexitéDifficile

La multiplication de Karatsuba vérifie T(n) = 3T(n/2) + O(n). Quelle en est la solution ?

  1. AΘ(n3)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(nlog₂ 3), soit environ n1,585
  4. DΘ(n log n)
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle méthode de résolution des collisions stocke les clés en collision dans une liste au sein du même compartiment ?

  1. ALe chaînage séparé (separate chaining)
  2. BLe sondage linéaire (linear probing)
  3. CLe double hachage (double hashing)
  4. DLe sondage quadratique (quadratic probing)
4.Structures de donnéesDifficile

Un arbre de segments (segment tree) est généralement utilisé pour :

  1. AImplémenter une pile
  2. BTrier des chaînes par ordre alphabétique en stockant chaque préfixe dans un nœud distinct de l'arbre
  3. CRépondre à des requêtes sur intervalles (comme des sommes d'intervalles) et à des mises à jour en O(log n)
  4. DStocker les arêtes d'un graphe
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFGCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
16561103814201917ABCDEFG

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet G. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 5.

départ : Gk = 5
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DE
  7. 7arête DF
  8. 8arête EF
  9. 9arête GC
  10. 10arête GD
  11. 11arête GE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Des sous-problèmes qui se chevauchent et une sous-structure optimale

Pourquoi c'est la réponse

Mémoriser les résultats des sous-problèmes qui se chevauchent (mémoïsation ou tabulation) évite le travail répété et transforme des algorithmes exponentiels en algorithmes polynomiaux.

Réponse

B · Des sous-problèmes qui se chevauchent et une sous-structure optimale
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Θ(nlog₂ 3), soit environ n1,585

Pourquoi c'est la réponse

Comme log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, les feuilles dominent d'après le théorème maître, ce qui bat la méthode scolaire en O(n²).

Réponse

C · Θ(nlog₂ 3), soit environ n1,585
3.Structures de données

Réponse: A · Le chaînage séparé (separate chaining)

Pourquoi c'est la réponse

Le chaînage conserve une liste chaînée (ou une autre structure) par compartiment ; l'adressage ouvert cherche un autre emplacement libre dans la table elle-même.

Réponse

A · Le chaînage séparé (separate chaining)
4.Structures de données

Réponse: C · Répondre à des requêtes sur intervalles (comme des sommes d'intervalles) et à des mises à jour en O(log n)

Pourquoi c'est la réponse

Un arbre de segments stocke des agrégats pour des intervalles et permet des requêtes sur intervalles et des mises à jour ponctuelles en temps O(log n).

Réponse

C · Répondre à des requêtes sur intervalles (comme des sommes d'intervalles) et à des mises à jour en O(log n)
5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Sommets impairs

A, C, D, E, F, G → 6
ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphes

Réponse: arête AC

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. GE (17)
2. DE (3)
3. BD (1)
4. BC (6)
5. AC (5)
6. DF (8)

numéro de l’arête 5

AC

Réponse

arête AC

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