Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle du calcul du n-ième nombre de Fibonacci avec une table remplie de bas en haut ?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle définition de la classe NP est correcte ?

  1. ALes problèmes qui ne sont pas polynomiaux
  2. BLes problèmes de décision dont les réponses « oui » peuvent être vérifiées en temps polynomial à l'aide d'un certificat
  3. CLes problèmes qui ne peuvent pas être résolus en temps polynomial
  4. DLes problèmes qu'aucun algorithme ne peut résoudre
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle structure de données un programme en cours d'exécution utilise-t-il pour suivre les appels de fonction actifs et leurs variables locales ?

  1. ALa file de la mémoire du tas
  2. BLa pile d'appels
  3. CUne table de hachage des fonctions
  4. DUn arbre binaire de recherche de cadres
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle structure permet de calculer le maximum de chaque fenêtre de taille k dans un tableau en O(n) au total ?

  1. AUn tas min reconstruit pour chaque fenêtre
  2. BUne liste simplement chaînée des éléments de la fenêtre
  3. CUn tableau trié mis à jour par décalage
  4. DUn deque contenant des indices par ordre décroissant de valeur
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K5 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K5
H =
6.Théorie des graphesDifficile
1611012311154ABCDEF

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

Remplir la table de 0 à n demande une addition par entrée : le travail est linéaire au lieu d'exponentiel.

Réponse

B · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Les problèmes de décision dont les réponses « oui » peuvent être vérifiées en temps polynomial à l'aide d'un certificat

Pourquoi c'est la réponse

Pour un problème NP, une solution proposée (certificat) peut être vérifiée rapidement, par exemple vérifier qu'une affectation donnée satisfait une formule booléenne.

Réponse

B · Les problèmes de décision dont les réponses « oui » peuvent être vérifiées en temps polynomial à l'aide d'un certificat
3.Structures de données

Réponse: B · La pile d'appels

Pourquoi c'est la réponse

Chaque appel empile un cadre de pile (stack frame) et chaque retour le dépile, c'est pourquoi l'appel le plus récent se termine en premier.

Réponse

B · La pile d'appels
4.Structures de données

Réponse: D · Un deque contenant des indices par ordre décroissant de valeur

Pourquoi c'est la réponse

L'avant du deque est toujours le maximum de la fenêtre ; chaque indice entre et sort du deque une seule fois, donc le travail est linéaire.

Réponse

D · Un deque contenant des indices par ordre décroissant de valeur
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 12

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Réponse

H = 12
6.Théorie des graphes

Réponse: W = 34

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

AC (1): prise
CE (3): prise
BE (4): prise
BC (10): sautée, ferme un cycle
DE (11): prise
BD (12): sautée, ferme un cycle
EF (15): prise

Poids total

W = 1 + 3 + 4 + 11 + 15 = 34

Réponse

W = 34

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