Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel algorithme de tri est stable ?

  1. ATri par sélection (version habituelle)
  2. BTri par tas
  3. CTri rapide (version en place habituelle)
  4. DTri fusion
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel est le coût amorti de l'incrémentation d'un compteur binaire, sachant qu'une incrémentation peut inverser de nombreux bits ?

  1. AO(1) par incrémentation
  2. BO(n log n) par incrémentation
  3. CO(n) par incrémentation
  4. DO(log n) par incrémentation
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle structure de données utilise-t-on pour vérifier si les parenthèses de "{[()]}" sont équilibrées ?

  1. AUne pile
  2. BUne table de hachage
  3. CUn arbre binaire de recherche
  4. DUne file
4.Structures de donnéesDifficile

La suppression d'un nœud ayant deux enfants dans un arbre binaire de recherche se fait généralement en :

  1. ALe remplaçant par son successeur infixe (ou prédécesseur) puis en supprimant ce nœud
  2. BReconstruisant de zéro le sous-arbre situé en dessous et en réinsérant toutes les clés qu'il contenait
  3. CL'échangeant avec la racine
  4. DSupprimant tout le sous-arbre
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 3 sommets de degré 3, 3 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

3 × deg 33 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
7523125157ABCDEF

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 5 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Tri fusion

Pourquoi c'est la réponse

Le tri fusion est stable si, en cas d'égalité, la fusion prend d'abord dans la moitié gauche. Le tri rapide en place, le tri par tas et le tri par sélection ne sont généralement pas stables.

Réponse

D · Tri fusion
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(1) par incrémentation

Pourquoi c'est la réponse

Sur n incrémentations, le bit i s'inverse environ n / 2ⁱ fois : le total est inférieur à 2n inversions, soit en moyenne O(1) chacune.

Réponse

A · O(1) par incrémentation
3.Structures de données

Réponse: A · Une pile

Pourquoi c'est la réponse

On empile chaque symbole ouvrant et on dépile à chaque symbole fermant ; celui-ci doit correspondre au symbole dépilé, et la pile doit être vide à la fin.

Réponse

A · Une pile
4.Structures de données

Réponse: A · Le remplaçant par son successeur infixe (ou prédécesseur) puis en supprimant ce nœud

Pourquoi c'est la réponse

Le successeur infixe a au plus un enfant, il peut donc être facilement supprimé après avoir copié sa clé dans le nœud à supprimer.

Réponse

A · Le remplaçant par son successeur infixe (ou prédécesseur) puis en supprimant ce nœud
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 5

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 15 = 2(L + 6) − 2
L = 5

Réponse

L = 5

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: D

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 7, C: 5
2. C (5): E: 8
3. B (7): D: 9
4. E (8): F: 23
5. D (9): F: 14
6. F (14)

tour 5

D

Réponse

D

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