Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la solution de la récurrence T(n) = 2T(n − 1) + O(1) ?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle définition de la classe NP est correcte ?

  1. ALes problèmes qu'aucun algorithme ne peut résoudre
  2. BLes problèmes qui ne sont pas polynomiaux
  3. CLes problèmes qui ne peuvent pas être résolus en temps polynomial
  4. DLes problèmes de décision dont les réponses « oui » peuvent être vérifiées en temps polynomial à l'aide d'un certificat
3.Structures de donnéesMoyen

Un parcours infixe (in-order) d'un arbre binaire de recherche visite les clés dans :

  1. AL'ordre par niveaux
  2. BL'ordre croissant
  3. CL'ordre d'insertion
  4. DToujours l'ordre décroissant
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle propriété maintient tout B-arbre parfaitement équilibré ?

  1. AToutes les feuilles sont à la même profondeur
  2. BChaque nœud a exactement deux enfants
  3. CLes clés ne sont stockées que dans la racine
  4. DChaque nœud stocke une seule clé
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 4 sommets de degré 3, 2 sommets de degré 4, 4 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

4 × deg 32 × deg 44 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
151641281114ABCDEF

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(2ⁿ)

Pourquoi c'est la réponse

Le nombre d'appels double à chaque niveau et il y a n niveaux : le total est donc environ 2ⁿ, comme pour les tours de Hanoï.

Réponse

A · O(2ⁿ)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Les problèmes de décision dont les réponses « oui » peuvent être vérifiées en temps polynomial à l'aide d'un certificat

Pourquoi c'est la réponse

Pour un problème NP, une solution proposée (certificat) peut être vérifiée rapidement, par exemple vérifier qu'une affectation donnée satisfait une formule booléenne.

Réponse

D · Les problèmes de décision dont les réponses « oui » peuvent être vérifiées en temps polynomial à l'aide d'un certificat
3.Structures de données

Réponse: B · L'ordre croissant

Pourquoi c'est la réponse

Visiter le sous-arbre gauche, puis le nœud, puis le sous-arbre droit fournit les clés du BST dans l'ordre trié.

Réponse

B · L'ordre croissant
4.Structures de données

Réponse: A · Toutes les feuilles sont à la même profondeur

Pourquoi c'est la réponse

Les nœuds pleins se scindent vers le haut et l'arbre ne grandit que lorsque la racine se scinde, donc toutes les feuilles restent toujours au même niveau.

Réponse

A · Toutes les feuilles sont à la même profondeur
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 10

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 28 = 2(L + 10) − 2
L = 10

Réponse

L = 10

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: W = 34

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

BC (1): prise
CE (4): prise
BD (6): prise
DF (8): prise
EF (11): sautée, ferme un cycle
DE (12): sautée, ferme un cycle
BE (14): sautée, ferme un cycle
AB (15): prise

Poids total

W = 1 + 4 + 6 + 8 + 15 = 34

Réponse

W = 34

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