Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel est le temps d'exécution du tri par base LSD sur n entiers de d chiffres en base k ?

  1. AO(n log n)
  2. BO(dn log k)
  3. CO(d(n + k))
  4. DO(n²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pour montrer qu'un nouveau problème X est NP-difficile, que faut-il faire ?

  1. ARéduire X à un problème NP-difficile connu en temps polynomial
  2. BMontrer que X peut être vérifié en temps polynomial
  3. CRéduire un problème NP-difficile connu à X en temps polynomial
  4. DMontrer que X n'a pas d'algorithme polynomial pour les petites entrées
3.Structures de donnéesMoyen

Une application a besoin de recherches rapides, mais aussi de lister les clés dans l'ordre trié et de répondre à des requêtes par intervalle. Quelle structure convient le mieux ?

  1. AUn arbre binaire de recherche équilibré
  2. BUne liste chaînée non triée
  3. CUne table de hachage
  4. DUne pile
4.Structures de donnéesDifficile

Pour qu'une table de hachage fonctionne correctement, quelle règle le hachage et l'égalité doivent-ils respecter ?

  1. ALes valeurs de hachage doivent être des nombres premiers
  2. BDes clés différentes doivent avoir des valeurs de hachage différentes
  3. CDes valeurs de hachage égales impliquent des clés égales
  4. DDes clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFGCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
6112128112101ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(d(n + k))

Pourquoi c'est la réponse

Chacune des d passes est un tri par comptage coûtant O(n + k) ; pour d et k fixés, le total est donc linéaire en n.

Réponse

C · O(d(n + k))
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Réduire un problème NP-difficile connu à X en temps polynomial

Pourquoi c'est la réponse

Si un problème difficile connu peut être transformé efficacement en X, un algorithme rapide pour X résoudrait aussi le problème connu.

Réponse

C · Réduire un problème NP-difficile connu à X en temps polynomial
3.Structures de données

Réponse: A · Un arbre binaire de recherche équilibré

Pourquoi c'est la réponse

Un BST équilibré offre des recherches en O(log n) et garde les clés ordonnées, ce qui facilite le parcours infixe et les requêtes par intervalle ; une table de hachage disperse les clés.

Réponse

A · Un arbre binaire de recherche équilibré
4.Structures de données

Réponse: D · Des clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales

Pourquoi c'est la réponse

Si deux clés égales avaient des hachages différents, elles seraient stockées dans des compartiments différents et les recherches échoueraient ; des clés différentes peuvent toutefois partager un hachage.

Réponse

D · Des clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales
5.Théorie des graphes

Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Sommets impairs

D, F → 2
Chemin eulérien, pas de circuit

Réponse

Chemin eulérien, pas de circuit

Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 17

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 6, C: 11
B (6): C: 8, D: 18, E: 7
E (7): F: 17
C (8)
F (17)
D (18)

Plus court chemin

A → B → E → F
d(F) = 17

Réponse

d(F) = 17

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