Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Avec des pièces de 1, 3 et 4 et un montant de 6, combien de pièces utilise la méthode gloutonne « la plus grosse pièce d'abord », comparée à l'optimum ?

  1. ALe glouton utilise 3 pièces ; l'optimum est 2
  2. BLe glouton utilise 3 pièces ; l'optimum est 3
  3. CLe glouton utilise 2 pièces ; l'optimum est 2
  4. DLe glouton utilise 4 pièces ; l'optimum est 3
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle est la différence entre un problème indécidable et un problème intraitable ?

  1. ALes problèmes intraitables ne peuvent être résolus par aucun algorithme, tandis que les indécidables demandent seulement un temps exponentiel
  2. BLes problèmes indécidables sont dans NP, tandis que les problèmes intraitables sont dans P
  3. CLes deux signifient que le problème n'a aucun algorithme
  4. DUn problème indécidable n'a aucun algorithme valable pour toutes les entrées ; un problème intraitable en a un, mais il est trop lent
3.Structures de donnéesMoyen

Un parcours infixe (in-order) d'un arbre binaire de recherche visite les clés dans :

  1. AL'ordre croissant
  2. BToujours l'ordre décroissant
  3. CL'ordre d'insertion
  4. DL'ordre par niveaux
4.Structures de donnéesDifficile

Sous l'hypothèse de hachage uniforme simple, quel est le temps attendu d'une recherche dans une table de hachage à chaînage contenant n clés et m compartiments ?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1 + α), où α = n / m
  4. DO(m)
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
461319128ABCDE

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet C. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 2.

départ : Ck = 2
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DE
  7. 7arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Le glouton utilise 3 pièces ; l'optimum est 2

Pourquoi c'est la réponse

Le glouton prend 4 + 1 + 1 = 3 pièces, mais 3 + 3 n'en utilise que 2 : le glouton n'est pas optimal pour ce système de pièces, contrairement à la programmation dynamique.

Réponse

A · Le glouton utilise 3 pièces ; l'optimum est 2
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Un problème indécidable n'a aucun algorithme valable pour toutes les entrées ; un problème intraitable en a un, mais il est trop lent

Pourquoi c'est la réponse

Le problème de l'arrêt n'a aucun algorithme ; un problème NP-difficile comme le TSP peut être résolu par force brute, simplement pas en temps polynomial connu.

Réponse

D · Un problème indécidable n'a aucun algorithme valable pour toutes les entrées ; un problème intraitable en a un, mais il est trop lent
3.Structures de données

Réponse: A · L'ordre croissant

Pourquoi c'est la réponse

Visiter le sous-arbre gauche, puis le nœud, puis le sous-arbre droit fournit les clés du BST dans l'ordre trié.

Réponse

A · L'ordre croissant
4.Structures de données

Réponse: C · O(1 + α), où α = n / m

Pourquoi c'est la réponse

Le calcul du hachage coûte O(1) et la longueur attendue d'une chaîne est α ; maintenir α borné par redimensionnement donne donc un temps attendu en O(1).

Réponse

C · O(1 + α), où α = n / m
5.Théorie des graphes

Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Sommets impairs

B, D → 2
Chemin eulérien, pas de circuit

Réponse

Chemin eulérien, pas de circuit

Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.

6.Théorie des graphes

Réponse: arête DE

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. CE (1)
2. DE (2)
3. AC (6)
4. AB (4)

numéro de l’arête 2

DE

Réponse

arête DE

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