Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle de : pour i = 1 à n : pour j = 1 à i : faire un travail O(1) ?

  1. AO(n³)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

L'algorithme de programmation dynamique de Held-Karp résout exactement le problème du voyageur de commerce. Quel est son temps d'exécution pour n villes ?

  1. AO(n!)
  2. BO(2n²)
  3. CO(n³)
  4. DO(n² 2ⁿ)
3.Structures de donnéesMoyen

Combien de temps faut-il pour vérifier si l'arête (u, v) existe avec une matrice d'adjacence ?

  1. AO(1)
  2. BO(V)
  3. CO(log V)
  4. DO(E)
4.Structures de donnéesDifficile

La complexité temporelle de decrease-key dans un tas binaire (la position de l'élément étant connue) est :

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 4 sommets de degré 5, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

4 × deg 5
L =
6.Théorie des graphesDifficile
103741271381214ABCDEFG

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 3 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(n²)

Pourquoi c'est la réponse

Le corps intérieur s'exécute n(n + 1) / 2 fois au total, ce qui reste quadratique.

Réponse

C · O(n²)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(n² 2ⁿ)

Pourquoi c'est la réponse

Il y a environ n 2ⁿ états, chacun calculé en O(n) ; c'est exponentiel mais bien plus rapide que d'essayer les (n − 1)! tournées possibles.

Réponse

D · O(n² 2ⁿ)
3.Structures de données

Réponse: A · O(1)

Pourquoi c'est la réponse

La case à la ligne u, colonne v indique immédiatement si l'arête existe ; une liste d'adjacence peut nécessiter de parcourir les voisins de u.

Réponse

A · O(1)
4.Structures de données

Réponse: A · O(log n)

Pourquoi c'est la réponse

Après la diminution de la clé, l'élément remonte (sift-up) au plus de la hauteur du tas. Les tas de Fibonacci atteignent un decrease-key en O(1) amorti.

Réponse

A · O(log n)
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 14

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 20 = 2(L + 4) − 2
L = 14

Réponse

L = 14

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: E

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 10, C: 3
2. C (3): E: 7, G: 11
3. E (7): D: 19
4. B (10)
5. G (11)
6. D (19): F: 26
7. F (26)

tour 3

E

Réponse

E

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